Summe von zwei Quadraten/Produkt/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}x=a^{2}+b^{2}\,$

und

${}y=c^{2}+d^{2}\,.$

Wir setzen

${}r=ac-bd\,$

und

${}s=ad+bc\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}r^{2}+s^{2}&=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}\\&=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2acbd+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+2adbc\\&=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}\\&=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\\&=xy,\end{aligned}}$

also ist auch das Produkt eine Summe von zwei Quadratzahlen.

Zur gelösten Aufgabe