Surjektive Abbildung/Unterstruktur/Durchschnitt erfüllt nicht/Aufgabe

Das Symbolalphabet ${}S$ bestehe neben Variablen aus einem einstelligen Funktionssymbol ${}f$ und es sei ${}\Gamma =\{\alpha \}$ mit ${}\alpha =\forall x\exists y(fy=x)$. Es sei ${}M=\mathbb {Z}$, wobei ${}f$ als ${}+2$ interpretiert wird mit der einzigen Ausnahme

${}f(x)={\begin{cases}x+1,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\0,{\text{ falls }}x=-1\,,\\x+2,{\text{ falls }}x\leq -2\,.\end{cases}}\,$

a) Zeige, dass ${}\Gamma$ von ${}M$ erfüllt wird.

b) Bestimme die funktionale Hülle von ${}\{0\}$.

c) Zeige, dass die funktionale Hülle von ${}\{0\}$ nicht ${}\Gamma$ erfüllt.

d) Man gebe zwei funktional abgeschlossene, ${}\Gamma$-erfüllende und ${}0$ enthaltende Teilmengen ${}T_{1},T_{2}\subseteq \mathbb {Z}$ an, deren Durchschnitt ${}T_{1}\cap T_{2}$ nicht ${}\Gamma$ erfüllt.

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