Symmetrie/Drehungen am n-Eck/Beispiel

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Wir betrachten den Einheitskreis

Dieser wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert. Diese ordnen einem Winkel (bezüglich der -Achse, gegen den Uhrzeigersinn) den zugehörigen Punkt

auf dem Kreisbogen zu. Eine gleichmäßige Unterteilung des Intervalls in gleichgroße Stücke, die durch die Grenzen

gegeben sind, führt zu einer gleichmäßigen Unterteilung des Kreises mit den Eckpunkten

Diese Punkte sind die Eckpunkte eines regelmäßigen -Ecks. Das regelmäßige „Zweieck“ besitzt die Ecken und , das regelmäßige (gleichseitige) Dreieck besitzt die Ecken

das regelmäßige Viereck (Quadrat) besitzt die Ecken

usw. Wir fassen ein solches reguläres -Eck als ein in sich starres Gebilde auf und interessieren uns dafür, wie man es in sich selbst überführen kann. Der Nullpunkt ist der Mittelpunkt (Schwerpunkt) des -Eckes, und bleibt bei einer Bewegung des -Eckes auf sich selbst unverändert. Da eine solche Bewegung die Längen nicht ändert, muss der Punkt auf einen der Eckpunkte abgebildet werden, da nur diese Punkte des -Eckes vom Nullpunkt den Abstand eins besitzen. Da eine Bewegung auch die Winkel nicht verändert, muss der Nachbarpunkt auf einen Nachbarpunkt des Bildpunktes von abgebildet werden. Bei einer eigentlichen (physikalisch in der Ebene!) durchführbaren Bewegung bleibt auch die Reihenfolge (die „Orientierung“) der Ecken erhalten, so dass die einzigen eigentlichen Bewegungen eines regulären -Eckes die Drehungen um ein Vielfaches von sind.

Wenn man auch noch uneigentliche Bewegungen zulässt, so gibt es noch die Spiegelungen an einer Achse, und zwar geht bei gerade die Achse durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte, und bei ungerade durch einen Eckpunkt und einen gegenüberliegenden Seitenmittelpunkt.

Sei fixiert, und setze und sei die Drehung des -Eckes um gegen den Uhrzeigersinn. Dann kann man jede Drehung am -Eck schreiben als mit einem eindeutig bestimmten zwischen und . Dabei ist die Nulldrehung (die identische Bewegung), bei der nichts bewegt wird. Wenn man -mal ausführt, so hat man physikalisch gesehen eine volle Umdrehung durchgeführt. Vom Ergebnis her stimmt das aber mit der Nulldrehung überein. Allgemeiner gilt, dass wenn man -mal ausführt, dass dann das Endergebnis (also die effektive Bewegung) nur vom Rest abhängt. Die inverse Bewegung zu ist , also -mal wieder zurück, oder gleichbedeutend .

Sei nun eine bestimmte Drehung am -Eck, also mit einem eindeutig bestimmten , . Dann kann man sich überlegen, welche Drehungen sich als Hintereinanderausführung von schreiben lassen, also zur Menge

gehören. Da die Menge der Drehungen endlich ist, muss es eine Wiederholung geben. Wie sieht diese aus, wann durchlaufen die Hintereinanderausführungen von sämtliche Drehungen am -Eck? Dafür gibt es recht einfache Antworten im Rahmen der elementaren Gruppentheorie.