Symmetrie/Drehungen am n-Eck/Gruppe bekannt/Beispiel

Wir betrachten den Einheitskreis

${}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$

Dieser wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert. Diese ordnen einem Winkel ${}\alpha \in [0,2\pi )$ (bezüglich der ${}x$-Achse, gegen den Uhrzeigersinn) den zugehörigen Punkt

$(\cos \alpha ,\sin \alpha )$

auf dem Kreisbogen zu. Eine gleichmäßige Unterteilung des Intervalls ${}[0,2\pi ]$ in ${}n$ gleichgroße Stücke, die durch die Grenzen

$0,\,{\frac {2\pi }{n}},\,2{\frac {2\pi }{n}},\,3{\frac {2\pi }{n}},\ldots ,(n-1){\frac {2\pi }{n}},\,n{\frac {2\pi }{n}}=2\pi$

gegeben sind, führt zu einer gleichmäßigen Unterteilung des Kreises mit den Eckpunkten

$(1,0),\,\left(\cos {\frac {2\pi }{n}},\,\sin {\frac {2\pi }{n}}\right),\,\left(\cos 2{\frac {2\pi }{n}},\,\sin 2{\frac {2\pi }{n}}\right),\,\left(\cos 3{\frac {2\pi }{n}},\,\sin 3{\frac {2\pi }{n}}\right),\ldots ,\left(\cos(n-1){\frac {2\pi }{n}},\,\sin(n-1){\frac {2\pi }{n}}\right).$

Diese Punkte sind die Eckpunkte eines regelmäßigen ${}n$-Ecks. Das regelmäßige „Zweieck“ besitzt die Ecken $(1,0)$ und $(-1,0)$, das regelmäßige (gleichseitige) Dreieck besitzt die Ecken

$\left(1,\,0\right),\,\left(-{\frac {1}{2}},\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right),\,\left(-{\frac {1}{2}},\,-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right),$

das regelmäßige Viereck (Quadrat) besitzt die Ecken

$(1,0),\,(0,1),\,(-1,0),\,(0,-1),$

usw. Wir fassen ein solches reguläres ${}n$-Eck als ein in sich starres Gebilde auf und interessieren uns dafür, wie man es in sich selbst überführen kann. Der Nullpunkt ist der Mittelpunkt (Schwerpunkt) des ${}n$-Eckes, und bleibt bei einer Bewegung des ${}n$-Eckes auf sich selbst unverändert. Da eine solche Bewegung die Längen nicht ändert, muss der Punkt ${}(1,0)$ auf einen der Eckpunkte abgebildet werden, da nur diese Punkte des ${}n$-Eckes vom Nullpunkt den Abstand eins besitzen. Da eine Bewegung auch die Winkel nicht verändert, muss der Nachbarpunkt ${}\left(\sin {\frac {2\pi }{n}},\,\cos {\frac {2\pi }{n}}\right)$ auf einen Nachbarpunkt des Bildpunktes von ${}(1,0)$ abgebildet werden. Bei einer eigentlichen (physikalisch in der Ebene!) durchführbaren Bewegung bleibt auch die Reihenfolge (die „Orientierung“) der Ecken erhalten, sodass die einzigen eigentlichen Bewegungen eines regulären ${}n$-Eckes die Drehungen um ein Vielfaches von ${}2\pi /n$ sind.

Wenn man auch noch uneigentliche Bewegungen zulässt, so gibt es noch die Spiegelungen an einer Achse, und zwar geht bei ${}n$ gerade die Achse durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte, und bei ${}n$ ungerade durch einen Eckpunkt und einen gegenüberliegenden Seitenmittelpunkt.

Es sei ${}n$ fixiert, und setze ${}\alpha =2\pi /n$ und sei ${}\varphi$ die Drehung des ${}n$-Eckes um ${}\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn. Dann kann man jede Drehung am ${}n$-Eck schreiben als ${}\varphi ^{k}$ mit einem eindeutig bestimmten ${}k$ zwischen ${}0$ und ${}n-1$. Dabei ist ${}\varphi ^{0}=\operatorname {Id}$ die Nulldrehung (die identische Bewegung), bei der nichts bewegt wird. Wenn man ${}\varphi$ ${}n$-mal ausführt, so hat man physikalisch gesehen eine volle Umdrehung durchgeführt. Vom Ergebnis her stimmt das aber mit der Nulldrehung überein. Allgemeiner gilt, dass wenn man ${}\varphi$ ${}m$-mal ausführt, dass dann das Endergebnis (also die effektive Bewegung) nur vom Rest ${}m\mod n$ abhängt. Die inverse Bewegung zu ${}\varphi ^{k}$ ist ${}\varphi ^{-k}$, also ${}k$-mal wieder zurück, oder gleichbedeutend ${}\varphi ^{(n-k)}$. Alle Drehungen an einem regelmäßigen ${}n$-Eck bilden eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$.