Symmetrien/Würfel/Motivation/Beispiel

Wir betrachten einen Würfel ${}W\subset \mathbb {R} ^{3}$ mit der Seitenlänge ${}2$ und dem Nullpunkt als Mittelpunkt. Die Eckpunkte sind also

$(\pm 1,\pm 1,\pm 1).$

Wir fragen uns, welche Möglichkeiten es gibt, den Würfel in sich selbst zu überführen. Dabei soll der Würfel nicht in irgendeiner Form deformiert werden, es ist nur erlaubt, ihn als Ganzes zu bewegen, und zwar soll die Bewegung wirklich physikalisch durchführbar sein. Man spricht auch von einer (eigentlichen) Bewegung des Würfels. Bei einer solchen Bewegung verändert der Würfelmittelpunkt seine Lage nicht, und es werden Seiten auf Seiten, Kanten auf Kanten und Ecken auf Ecken abgebildet. Ebenso werden Seitenmittelpunkte auf Seitenmittelpunkte abgebildet, und gegenüberliegende Seitenmittelpunkte werden auf gegenüberliegende Seitenmittelpunkte abgebildet. Die Seitenmittelpunkte sind die sechs Punkte

$(\pm 1,0,0),\,(0,\pm 1,0),\,(0,0,\pm 1).$

Wenn der Punkt ${}(1,0,0)$ auf den Seitenmittelpunkt ${}S$ abgebildet wird, so wird ${}(-1,0,0)$ auf den gegenüberliegenden Punkt, also ${}-S$, abgebildet. Hierbei ist jede Vorgabe von ${}S$ erlaubt, doch dadurch ist die Bewegung noch nicht eindeutig bestimmt. Für den Seitenmittelpunkt ${}(0,1,0)$ gibt es dann noch vier mögliche Bildpunkte (nur ${}S$ und ${}-S$ sind ausgeschlossen), da man den Würfel um die durch ${}S$ gegebene Achse um ein Vielfaches von ${}90$ Grad drehen kann. Diese Drehungen entsprechen genau den Möglichkeiten, den Punkt ${}(0,1,0)$ auf einen der vier verbliebenen Seitenmittelpunkte abzubilden. Durch die Wahl des zweiten Seitenmittelpunktes ${}T$ ist die Bewegung dann eindeutig festgelegt. Ist das völlig klar?

Um sich das klar zu machen, sind folgende Beobachtungen sinnvoll.

1. Bewegungen lassen sich hintereinander ausführen, d.h. wenn man zwei Würfelbewegungen $\varphi$ und $\psi$ hat, so ist auch die Hintereinanderausführung ${}\psi \circ \varphi$, die zuerst ${}\varphi$ und dann ${}\psi$ durchführt, sinnvoll definiert.
2. Die identische Bewegung, die nichts bewegt, ist eine Bewegung. Wenn man zu einer beliebigen Bewegung die identische Bewegung davor oder danach durchführt, so ändert das die Bewegung nicht.
3. Zu einer Bewegung ${}\varphi$ gibt es die entgegengesetzte Bewegung (oder „Rückwärtsbewegung“) ${}\varphi ^{-1}$, die die Eigenschaft besitzt, dass die Hintereinanderausführungen $\varphi ^{-1}\circ \varphi$ und $\varphi \circ \varphi ^{-1}$ einfach die Identität sind.

Mit diesen Beobachtungen kann man sich das oben erwähnte Prinzip folgendermaßen klar machen: angenommen, es gibt zwei Bewegungen $\varphi$ und $\psi$, die beide ${}(1,0,0)$ auf ${}S$ und ${}(0,1,0)$ auf ${}T$ abbilden. Es sei ${}\psi ^{-1}$ die umgekehrte Bewegung zu ${}\psi$. Dann betrachtet man die Gesamtbewegung

${}\theta =\psi ^{-1}\circ \varphi \,.$

Diese Bewegung hat die Eigenschaft, dass ${}(1,0,0)$ auf ${}(1,0,0)$ und dass ${}(0,1,0)$ auf ${}(0,1,0)$ abgebildet wird, da ja ${}\varphi$ den Punkt ${}(1,0,0)$ auf ${}S$ schickt und ${}\psi ^{-1}$ den Punkt ${}S$ auf ${}(1,0,0)$ zurückschickt (und entsprechend für $(0,1,0)$). ${}\theta$ hat also die Eigenschaft, dass sowohl ${}(1,0,0)$ als auch ${}(0,1,0)$ auf sich selbst abgebildet werden, d.h., es handelt sich um Fixpunkte der Bewegung. Dann ist aber bereits die gesamte ${}x,y$-Ebene fix. Die einzige physikalisch durchführbare Bewegung des Würfels, die diese Ebene unbewegt lässt, ist aber die identische Bewegung. Daher ist ${}\psi ^{-1}\circ \varphi =\operatorname {Id}$ und damit ${}\varphi =\psi$. Man beachte, dass die Spiegelung an der ${}x,y$-Ebene die Punkte ${}(0,0,1)$ und ${}(0,0,-1)$ vertauscht, doch ist dies eine sogenannte uneigentliche Bewegung, da sie nicht physikalisch durchführbar ist.