Syntaktische Tautologien/Semantisch/Korrektheit/Bemerkung

Eine Durchsicht der Grundtautologien zeigt, dass es sich jeweils auch um semantische Tautologien handelt, siehe Aufgabe. Wenn ferner ${}\alpha$ und ${}(\alpha )\rightarrow (\beta )$ semantische Tautologien sind, so ist auch ${}\beta$ eine semantische Tautologie. D.h. die semantischen Tautologien sind unter Modus ponens abgeschlossen. Dies bedeutet insgesamt, dass syntaktische Tautologien stets semantische Tautologien sind. Diese Eigenschaft nennt man auch die Korrektheit des syntaktischen Kalküls, er leitet ausschließlich semantische Tautologien, also wahre Aussagen ab. Die umgekehrte Aussage, dass sich jede semantische Tautologie auch syntaktisch in dem angegebenen Kalkül ableiten lässt, nennt man die Vollständigkeit des Kalküls.