Syzygien/Initialpotenzgrad/Textabschnitt

Es sei ${}R$ ein lokaler noetherscher Ring und ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ Elemente, die ein ${}{\mathfrak {m}}$-primäres Ideal erzeugen. Es gelte ${}f_{j}\in {\mathfrak {m}}^{d_{j}}$, ${}f_{j}\notin {\mathfrak {m}}^{d_{j}+1}$. Die Abbildung

$\bigoplus _{j}R(-d_{j})\longrightarrow R,\,\left(s_{1},\,\ldots ,\,s_{n}\right)\longmapsto \sum _{j}s_{j}f_{j},$

induziert für jedes ${}k$ Abbildungen

$\bigoplus _{j}{\mathfrak {m}}^{k-d_{j}}\longrightarrow {\mathfrak {m}}^{k}$

und Abbildungen von ${}R/{\mathfrak {m}}$-Vektorräumen

$\bigoplus _{j}{\mathfrak {m}}^{k-d_{j}}/{\mathfrak {m}}^{k-d_{j}+1}\longrightarrow {\mathfrak {m}}^{k}/{\mathfrak {m}}^{k+1}.$

Aus Dimensionsgründen gibt es dann ein minimales ${}k$ derart, dass es einen nichttrivialen Kern gibt, was mit der Hilbertfunktion bestimmt werden kann. Ferner gibt es ein erwartetes minimales ${}k'$, das von den Hilbertpolynomen herrührt.

$Syz(X^{3},Y^{5},X^{2}-Y^{3})\subseteq R(-3)\oplus R(-5)\oplus R(-2)$

Basissyzygien

${}s_{1}=(-X,Y,X^{2}+Y^{3})\,,$

${}s_{2}=(-Y^{2},X,XY^{2})\,.$

Es ist

${}Xs_{1}-Ys_{2}=(-X^{2}+Y^{3},0,X^{3})\,$

und

${}Y^{2}s_{1}-Xs_{2}=(0,-X^{2}+Y^{3},Y^{5})\in F_{7}\,.$

Die erste Komponente müsste also zu ${}R(-4)_{7}$ gehören, was nicht der Fall ist.

Wir ergänzen ${}S$ zu ${}S'$, indem wir ${}{\frac {Y^{m}}{X}}(Y^{2}s_{1}-Xs_{2})$ hinzunehmen und in die Stufe ${}F_{m+6}$ packen. ${}S'$ kann man als ${}R$-Untermodul von ${}S_{X}$ realisieren. Die natürliche Abbildung ${}As_{1}+Bs_{2}\mapsto B$ nach ${}R(-6)$ ergänzen wir, indem wir diese Element auf ${}-Y^{m}$ schicken. Insbesondere geht ${}-{\frac {1}{X}}(Y^{2}s_{1}-Xs_{2})$ auf ${}1$ (und zwar vom richtigen Grad). Dies erlaubt den Schnitt ${}1\mapsto -{\frac {1}{X}}(Y^{2}s_{1}-Xs_{2})$.

Wegen ${}As_{1}+Bs_{2}\mapsto B\mapsto -{\frac {B}{X}}(Y^{2}s_{1}-Xs_{2})$ geht ${}(A-{\frac {BY^{2}}{X}})s_{1}$ zum Kern. Nach vorne betrachten wir daher die Abbildung ${}As_{1}+Bs_{2}\mapsto A-{\frac {BY^{2}}{X}}$, wofür wir ${}R(-4)$ um die ${}Y^{m}/X$ erweitern müssen. Obiges ${}Y^{2}s_{1}-Xs_{2}$ geht dann auf ${}0$. Allerdings sind die Erweiterungen nicht erlaubt. Bei

${}R'=R+{\frac {Y^{m}}{X}}\,$

ist

${}R'/F_{\ell }=R/m^{\ell }+{\frac {Y^{m}}{X}},0\leq m\leq \ell \,.$

Das Bild mit Quotientenfiltrierung.

${}As_{1}+Bs_{2}$ gehört maximal zu ${}F_{GradC+2+5}$ bei ${}B=CX$ und nur zu ${}F_{k+5}$ bei ${}B=Y^{k}$. Die Bildstufe zu ${}F_{\ell }$ ist daher ${}CX$ mit ${}C$ vom Grad ${}\ell -7$ und ${}Y^{k}$ mit ${}k=\ell -5$. Also ${}G_{\ell }$ ist ${}X\cdot m^{\ell -7}+Y^{\ell -5}\subseteq m^{\ell -6}$. Daher ist ${}R/G_{\ell }$ gleich ${}X\cdot M,Y^{0}...Y^{\ell -6}$, der Unterschied ist eindimensional.

Wenn man die Filtrierung von Syz ändert?

${}F_{\ell }\subseteq H_{\ell }\,$

sodass etwa ${}s_{2}$ zu ${}H_{6}$ gehört. Also

${}H_{\ell }=F_{\ell }+Y^{\ell -6}s_{2}\,.$

Unterschied eindimensional, da ja ${}Y^{\ell -6+pos}$ zu ${}F_{\ell }$ gehört. Wenn ${}1$ auf ${}s_{2}$ abgebildet wird, so braucht man mehr, da ${}Bs_{2}$ den Summengrad besitzt. Höheren Grad erreicht man nur in Verbindung ${}As_{1}+Bs_{2}$.