Taylor-Formel/Polynom und Taylorpolynom/a/Aufgabe/Lösung

Zu jedem ${}x\in \mathbb {R}$ gibt es aufgrund der Taylor-Formel ein ${}c\in \mathbb {R}$ mit

$f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1},$

wobei der linke Summand das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ ist. Da ${}f$ den Grad ${}n$ besitzt, ist aber die ${}(n+1)$-te Ableitung davon ${}0$. Daher fällt der rechte Summand weg und ${}f$ stimmt mit dem ${}n$-ten Taylor-Polynom überein.

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