Taylor-Polynom/1 durch x/a ist 2/Bis Grad 4/Aufgabe/Lösung

Die erste Ableitung ist

$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}=-x^{-2},\text{ also }{f}^{\prime }(2)=-\frac{1}{4}.$

Die zweite Ableitung ist

$f^{\prime \prime }(x)=2x^{-3},\text{ also }{f}^{\prime \prime }(2)=\frac{1}{4}.$

Die dritte Ableitung ist

$f^{\prime \prime \prime }(x)=-6x^{-4},\text{ also }{f}^{\prime \prime \prime }(2)=-\frac{3}{8}.$

Die vierte Ableitung ist

$f^{\prime \prime \prime \prime }(x)=24x^{-5},\text{ also }{f}^{\prime \prime \prime \prime }(2)=\frac{24}{32}=\frac{3}{4}.$

Das Taylor-Polynom vom Grad $4$ ist demnach

$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-2)+\frac{1}{4\cdot 2}(x-2{)}^2-\frac{3}{8\cdot 3!}(x-2{)}^3+\frac{3}{4\cdot 4!}(x-2{)}^4$

bzw.

$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-2)+\frac{1}{8}(x-2{)}^2-\frac{1}{16}(x-2{)}^3+\frac{1}{32}(x-2{)}^4.$

Zur gelösten Aufgabe