Taylor-Polynom/x sin x/a ist pi durch 2/Grad 3/Aufgabe/Lösung

Es ist

{}f{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}={\frac {\pi }{2}}\,.

Es ist

{}f^{\prime }(x)=\sin x+x\cdot \cos x\,

und daher ist

{}f^{\prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=1\,.

Es ist

{}f^{\prime \prime }(x)=\,

und daher ist

{}f^{\prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-{\frac {\pi }{2}}\,.

Es ist

{}f^{\prime \prime \prime }(x)=\,

und daher ist

{}f^{\prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-3\,.

Das Taylor-Polynom vom Grad ${}3$ in ${}{\frac {\pi }{2}}$ ist somit

{\frac {\pi }{2}}+{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}-{\frac {\pi }{4}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{2}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{3}.