Taylor-Reihe/e^(x^2)-x in a ist 1/Ordnung 4/Aufgabe/Lösung

Wir berechnen zuerst die Ableitungen, diese sind

f^{'} (x) = 2 x e^{x^{2}} - 1,

f^{''} (x) = 2 e^{x^{2}} + 2 x 2 x e^{x^{2}} = (2 + 4 x^{2}) e^{x^{2}},

f^{'''} (x) = (8 x) e^{x^{2}} + 2 x (2 + 4 x^{2}) e^{x^{2}} = (12 x + 8 x^{3}) e^{x^{2}},

f^{''''} (x) = (12 + 24 x^{2}) e^{x^{2}} + 2 x (12 x + 8 x^{3}) e^{x^{2}} = (12 + 48 x^{2} + 16 x^{4}) e^{x^{2}} .

Somit ist

f (1) = e - 1, f^{'} (1) = 2 e - 1, f^{''} (1) = 6 e, f^{'''} (1) = 20 e, f^{''''} (1) = 76 e .

Das Taylor-Polynom vom Grad $4$ zum Entwicklungspunkt $1$ ist demnach

e - 1 + (2 e - 1) (x - 1) + 3 e {(x - 1)}^{2} + \frac{10 e}{3} {(x - 1)}^{3} + \frac{19 e}{6} {(x - 1)}^{4}