Taylorpolynom/C/z^2-z+3 durch z/Grad 2/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}f({\mathrm {i} })={\frac {{\mathrm {i} }^{2}-{\mathrm {i} }+3}{\mathrm {i} }}={\frac {-{\mathrm {i} }+2}{\mathrm {i} }}=-1-2{\mathrm {i} }\,.$

Für die erste Ableitung gilt

${}f'(z)={\frac {(2z-1)z-z^{2}+z-3}{z^{2}}}={\frac {z^{2}-3}{z^{2}}}\,$

und somit

${}f'({\mathrm {i} })={\frac {{\mathrm {i} }^{2}-3}{{\mathrm {i} }^{2}}}={\frac {-4}{-1}}=4\,.$

Für die zweite Ableitung gilt

${}f^{\prime \prime }(z)={\frac {(2z)z^{2}-(z^{2}-3)2z}{z^{4}}}={\frac {2(z^{2}-z^{2}+3)}{z^{3}}}={\frac {6}{z^{3}}}\,$

und somit

${}f'({\mathrm {i} })={\frac {6}{{\mathrm {i} }^{3}}}=6{\mathrm {i} }\,.$

Das Taylor-Polynom vom Grad ${}2$ ist daher

$-1-2{\mathrm {i} }+4(z-{\mathrm {i} })+3{\mathrm {i} }(z-{\mathrm {i} })^{2}.$

Zur gelösten Aufgabe