Taylorpolynom/Sinus/pi halbe/Vierte Ordnung/Aufgabe/Lösung

Wir müssen das Polynom

$\sum _{k=0}^{4}{\frac {f^{(k)}{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}}{k!}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{k}$

berechnen. Es ist

${}f{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=1\,,$

${}f^{\prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=\cos {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0\,,$

${}f^{\prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-1\,,$

${}f^{\prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-\cos {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0\,$

und

${}f^{\prime \prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=1\,.$

Daher ist das vierte Taylor-Polynom gleich

$1-{\frac {1}{2}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}+{\frac {1}{24}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{4}.$

Zur gelösten Aufgabe