Taylorpolynom/Zweite Ordnung/e^(sin x-cos y)/0, pi halbe/Aufgabe/Lösung

Die relevanten Ableitungen sind

$\frac{\partial f}{\partial x}=\cos x{e}^{\sin x-\cos y},$

$\frac{\partial f}{\partial y}=\sin y{e}^{\sin x-\cos y},$

$\frac{{\partial }^{2}f}{{\partial }^{2}x}=({\cos }^{2}x-\sin x)e^{\sin x-\cos y},$

$\frac{{\partial }^{2}f}{{\partial }^{2}y}=({\sin }^{2}y+\cos y)e^{\sin x-\cos y},$

$\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}=\cos x\sin y{e}^{\sin x-\cos y}.$

Somit sind die Werte der relevanten Ableitungen im Punkt $(0,\frac{\pi }{2})$ gleich

$f(0,\frac{\pi }{2})=e^0=1,$

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,\frac{\pi }{2})=1,$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0,\frac{\pi }{2})=1,$

$\frac{{\partial }^{2}f}{{\partial }^{2}x}(0,\frac{\pi }{2})=1,$

$\frac{{\partial }^{2}f}{{\partial }^{2}y}(0,\frac{\pi }{2})=1,$

$\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(0,\frac{\pi }{2})=1.$

Daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung zwei gleich

$1+x+(y-\frac{\pi }{2})+\frac{1}{2}{x}^2+x(y-\frac{\pi }{2})+\frac{1}{2}{(y-\frac{\pi }{2})}^2.$

Zur gelösten Aufgabe