Taylorpolynom/Zweite Ordnung/e^(x-y^2)/Aufgabe/Lösung

Die relevanten Ableitungen sind

${}{\frac {\partial f}{\partial x}}=e^{x-y^{2}}\,,$

${}{\frac {\partial f}{\partial y}}=-2ye^{x-y^{2}}\,,$

${}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}x}}=e^{x-y^{2}}\,,$

${}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}y}}={\left(-2+4y^{2}\right)}e^{x-y^{2}}\,,$

${}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=-2ye^{x-y^{2}}\,.$

Somit sind die Werte der relevanten Ableitungen im Punkt ${}(1,1)$ gleich

${}f(1,1)=1\,,$

${}{\frac {\partial f}{\partial x}}(1,1)=1\,,$

${}{\frac {\partial f}{\partial y}}(1,1)=-2\,,$

${}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}x}}(1,1)=1\,,$

${}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}y}}(1,1)=2\,,$

${}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(1,1)=-2\,.$

Daher ist das Taylor-Polynom der Ordnung zwei gleich

$1+(x-1)-2(y-1)+{\frac {1}{2}}(x-1)^{2}-2(x-1)(y-1)+(y-1)^{2}.$

Zur gelösten Aufgabe