Teilbarkeit in N +/Ordnungsrelation/Beispiel

Wir betrachten die positiven ganzen Zahlen ${}\mathbb {N} _{+}$ zusammen mit der Teilbarkeitsbeziehung. Man sagt, dass eine Zahl ${}k$ die Zahl ${}n$ teilt, geschrieben

$k{|}n,$

wenn es eine weitere natürliche Zahl ${}m$ mit

 ${}n=km$  gibt. Die Bezeichnung ist nicht sonderlich glücklich gewählt, da ein symmetrisches Symbol für eine nichtsymmetrische Relation verwendet wird. Die Teilbarkeitsrelation ist in der Tat reflexiv, da stets ${}n{|}n$ ist, wie  ${}m=1$  zeigt. Die Transitivität sieht man so: sei ${}k{|}n$ und ${}n{|}m$ mit ${}n=ak$ und ${}m=bn$. Dann ist  ${}m=bn=bak$  und daher ${}k{|}m$. Die Antisymmetrie folgt so: Aus ${}n=ak$ und ${}k=bn$ folgt  ${}n=(ab)n$.  Da wir uns auf positive natürliche Zahlen beschränken, folgt  ${}ab=1$  und daraus  ${}a=b=1$.  Also ist  ${}k=n$  Einfache Beispiele wie $2$ und $3$ zeigen, dass hier keine totale Ordnung vorliegt, da weder ${}2$ von ${}3$ noch umgekehrt geteilt wird.