Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponenten/Bewertungseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und

$\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,n\longmapsto \nu _{p}(n),$

der zugehörige ${}p$-Exponent. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Zahl ${}p^{\nu _{p}(n)}$ ist die größte Potenz von ${}p$, die ${}n$ teilt.
2. Es ist

   ${}\nu _{p}(m\cdot n)=\nu _{p}(m)+\nu _{p}(n)\,.$

3. Es ist

   ${}\nu _{p}(m+n)=\operatorname {min} (\nu _{p}(m),\nu _{p}(n))\,$

   (es sei ${}m+n\neq 0$ vorausgesetzt).

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