Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponenten/Bewertungseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und

${\nu }_p:\mathbb{Z}\setminus \{0\}⟶\mathbb{N},n⟼{\nu }_p(n),$

der zugehörige $p$-Exponent. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Zahl $p^{{\nu }_p(n)}$ ist die größte Potenz von $p$, die $n$ teilt.
2. Es ist

   ${\nu }_p(m\cdot n)={\nu }_p(m)+{\nu }_p(n).$

3. Es ist

   ${\nu }_p(m+n)\ge \min ({\nu }_p(m),{\nu }_p(n))$

   (es sei $m+n\ne 0$ vorausgesetzt).

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