Teileranzahl/Unter 1000/Rekord/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten direkt die Primfaktorzerlegungen

${}n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}\,,$

woraus direkt die Teileranzahl

$(k_{1}+1)(k_{2}+1)\cdots (k_{r}+1)$

ablesbar ist. Da ${}n$ klein sein soll, können wir direkt mit den ersten Primzahlen arbeiten und ferner

${}k_{1}\geq k_{2}\geq \ldots \geq k_{r}\,$

annehmen. Bei ${}r=1$ ist

${}2^{9}=512<1000\,,$

welches ${}10$ Teiler besitzt, ${}2^{10}$ ist schon zu groß. Bei ${}r=2$ besitzt (wir führen nur ernsthafte Kandidaten auf)

${}2^{8}\cdot 3=768\,$

${}18$ Teiler,

${}2^{6}\cdot 3^{2}=576\,$

hat ${}21$ Teiler,

${}2^{5}3^{3}=864\,$

hat ${}24$ Teiler,

${}2^{4}3^{4}=1296>1000\,.$

Bei ${}r=3$ besitzt

${}2^{6}\cdot 3\cdot 5=960\,$

${}28$ Teiler,

${}2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5=720\,$

hat ${}30$ Teiler,

${}2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5=1080\,$

ist zu groß,

${}2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}=900\,$

hat ${}27$ Teiler. Bei ${}r=3$ besitzt

${}2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7=840\,$

${}32$ Teiler.

${}2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7=1260\,$

ist zu groß. Wegen

${}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310>1000\,$

kann es nicht mehr Primfaktoren geben. Also besitzt ${}840$ unter allen Zahlen unterhalb von ${}1000$ die maximale Anzahl an Teilern, nämlich ${}32$.

Zur gelösten Aufgabe