Teilmenge/Permutation/Fortsetzen/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge, und es seien ${}\operatorname {Perm} \,(T)$ und ${}\operatorname {Perm} \,(M)$ die zugehörigen Permutationsgruppen. Zeige, dass durch

$\Psi \colon \operatorname {Perm} \,(T)\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,\varphi \longmapsto {\tilde {\varphi }},$

mit

${}{\tilde {\varphi }}(x)={\begin{cases}\varphi (x),\,{\text{falls }}x\in T,\\x{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus

gegeben ist.

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