Tennis: Das perfekte Ass

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Modellierungsthema und Zielsetzung[Bearbeiten]

Hier entsteht ein Portfolio zur Mathematischen Modellbildung zum Thema: Wie muss die Ausführung eines Aufschlages erfolgen, damit ein direkter Punkt in Form eines "Ass" erzielt wird. Inwieweit ist es möglich, einen perfekten Aufschlag im Tennis mathematisch zu modellieren?

Definition[Bearbeiten]

"Ein Ass bezeichnet einen direkten Punkt im Tennismatch, der durch die Ausführung des Aufschlages gelungen ist. Dabei zählt die Tatsache, dass der gegnerische Spieler den Ball nicht mehr berühren kann. Einen solchen Aufschlag kann man durch langes Training optimieren, doch in der Realität ist das Ass an gewisse körperliche Voraussetzungen geknüpft. Entscheidend dabei ist meist die Größe des jeweiligen Spielers und der dazugehörige Hebel." (vgl. [1])

Modellierungsthema[Bearbeiten]

In der hier durchgeführten Modellierung geht es um die Frage, welche Faktoren die Entstehung eines Asses beeinflussen und warum es solch große Unterschiede im Bereich des Profitennis gibt. Zur Vereinfachung des Modells teilen wir unsere Faktoren in interne - (also den Spieler betreffende) und externe (die von außen einwirkenden Faktoren) ein.

Interne Faktoren[Bearbeiten]

  • Größe des Spielers bzw. resultierender Schlagpunkt (zusammengesetzt aus Größe, Armlänge und Schlägergröße)
  • Platzierung (abhängig von der Schlägerhaltung)

Externe Faktoren[Bearbeiten]

  • äußerliche Bedingung
    • Zunächst werden diese konstant gehalten und die bestmöglichen Bedingungen geschaffen, anschließend soll der Luftwiderstand und das Auftreffen am Boden berücksichtigt werden.
  • Gegenspieler
    • Stellung des Gegenspielers

Natürlich lassen sich hier noch viele weitere Faktoren, wie beispielsweise, die individuelle Stärke bzw. die Fähigkeiten des Spielers/Gegenspielers, dessen Reaktionsgeschwindigkeit und deren Spielerfahrungen finden. Jedoch wollen wir diese in unserem Modell außer Acht lassen.

Wir nutzen dazu die Komprimierung und konstruieren damit ein Modell zum realen Sachverhalt.

Zuordnung des Modellierungsthemas zu den UN-Nachhaltigkeitszielen [2][Bearbeiten]

„Sustainable development seeks to meet the needs and aspirations of the present without compromising the ability to meet those of the future.“ [vgl. [3]] [Brundtland-Report, S.39; Absatz 49 1]

Im Zuge des Kurses „Mathematische Modellbildung“ wollen auch wir uns, als Gruppe, am Prozess der nachhaltigen Entwicklung beteiligen. Dabei orientieren wir uns an den, in der UN- Agenda „Transformation unserer Welt: die Agenda 2030 für nachhaltige Entwicklung“ aufgeführten Nachhaltigkeitszielen und ordnen diese unserem mathematischen Modell zu.

Es ist schon längst kein Geheimnis mehr, dass das regelmäßige Ausüben von Sport einen positiven Effekt auf die Gesundheit der Menschen hat. So ist es Fakt, dass das Risiko auf nicht übertragbare Krankheiten wie Diabetes oder Herzinfarkte durch das regelmäßige Treiben von Sport deutlich sinkt. So hat auch der in unserem Modell im Fokus stehende Sport Tennis einen positiven Effekt auf die Fitness, das Wohlbefinden und die Gesundheit der Spieler. Die Kombination aus Bewegung und meist auch frischer Luft wirkt sich zu Gunsten der Spieler aus und beugt so oben bereits genannten gesundheitlichen Risiken vor.

Grundsätzlich gilt, dass Sport jeglicher Art einen sehr starken sozialen und auch gesellschaftlichen Einfluss besitzt. Die Sportverbände und Sportvereine bieten Kindern und Erwachsenen ein geschütztes Umfeld und sind treibende Kräfte, wenn es um Integration, Inklusion, Chancengleichheit, Fairplay, Toleranz und Teamgeist geht.

Niveauzuordnung[Bearbeiten]

Niveau Sek. I[Bearbeiten]

  • Darstellung der Flugbahn durch lineare Funktion
  • mittels rechtwinkligen Dreiecken und gegebenen Daten finden Berechnungen statt
  • Satz des Pythagoras, Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Niveau Sek. II[Bearbeiten]

  • aus linearer Funktion wird quadratische Funktion (Wurfparabel)
  • Schiefer Wurf
  • Einsatz von Geogebra
  • Fächerübergreifender Unterricht: Mathematik-Physik (Kinetik, Hebelgesetz)
  • Beeinflussung durch Variablen wie Geschwindigkeit, Beschleunigung, Gravitation
  • Datenauswertung
  • Exkurs Veranschaulichung der aufgenommenen Daten durch Grafiken (evtl. Geogebra)

Niveau Universität[Bearbeiten]

  • komplexere Funktion mit integrierten Konstanten und Variablen
  • Luftwiderstand
  • Zweidimensionaler Grundraum für eine Wahrscheinlichkeitsdichte

Modellierungszyklen[Bearbeiten]

Zyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1[Bearbeiten]

Bei Zyklus 1 gehen wir davon aus, dass die Flugbahn des Tennisballes durch eine lineare Funktion der Form approximiert werden kann. Dadurch haben wir das Niveau unseres Mathematischen Modells der Sekundarstufe I angepasst. Die Höhe, in der ein Ball vom Schläger eines aufschlagenden Spielers getroffen wird, wird als 3,7 Meter festgesetzt. Dies ist die ungefähre Höhe des Balltreffpunktes für einen geraden Aufschlag von John Isner. Dieser amerikanische Profi ist für seine sehr starken Aufschläge bekannt und wird uns auch im zweiten Zyklus zur Ermittlung des Schlagwinkels dienen. Eine weitere Strecke zwischen zwei Punkten ist die, vom Standpunkt des aufschlagenden Spielers bis zum Auftreffpunkt des Balls zurückgelegte Strecke. Die Höhe steht senkrecht auf dieser Strecke mit dem gemeinsamen Punkt am Fuße des aufschlagenden Spielers. Hiermit können wir ein rechtwinkliges Dreieck bilden, dessen Hypotenuse die zurückgelegte Strecke des Balls angibt. Der "Satz des Pythagoras" und die "Trigonometrische Funktionen" können hier angewandt werden.

Zyklus 1: GeoGebra Simulation https://ggbm.at/qfagrjbx

Berechnungen[Bearbeiten]

Wie bereits in der kurzen Einführung oben angedeutet, beginnen unsere Berechnungen mit einer linearen Funktion bei der unsere Steigung angibt (abhängig von dem Winkel mit einer Horizontalen durch den Schlagpunkt) und unseren y-Achsenabschnitt beschreibt (entspricht dem Schlagpunkt und variiert je nach Körpergröße).

Die Nullstelle der so entstandenen linearen Funktion entspricht dem Auftreffpunkt des Balles. Es ergibt sich ein pythagoreisches Dreieck, welches durch die Eckpunkte Auftreffpunkt, Schlagpunkt und StandortAufschläger definiert wird. Daraus ergeben sich die folgenden Seiten des Dreiecks und die folgende Berechnung der Strecke der Flugbahn:


Da der Auftreffwinkel Wechselwinkel zum Schlagwinkel ist, ergibt sich ebenfalls folgerichtig:

Im folgenden errichten wir eine Lotgerade zur x-Achse durch den Auftreffpunkt und nennen diese j. Diese Gerade nutzen wir als Spiegelachse und spiegeln somit .Aufgrund der Streckentreue von Geradenspiegelungen ist auch die Bildmenge von , also eine Strecke. So ergibt sich folgende Notation: . Nach dem zweiten und dritten Geradenspiegelungsaxiom gilt außerdem, dass diese auch kongruent sind.

Es ergibt sich:

Dies gilt logischer Art und Weise auch für die oben bereits definierten Strecken und . Wodurch sich folgendes ergibt:

Nun gilt nach dem Kongruenzsatz , dass .

Und dies impliziert:

So ergibt sich:

Im nächsten Schritt wählen wir den Standpunkt unseres Gegenspielers. Diesen beschreibt der Punkt der Abbildung StandortGegenspieler . Die Position des Gegenspielers wird bewusst fix gewählt, wodurch wir die Höhe des Balles an eben genau dieser Position berechnen können. Dazu errichten wir erneut eine Lotgerade m zur x-Achse durch den Punkt StandortGegenspieler und bestimmen den Schnittpunkt BallhöheGegenspieler der Lotgeraden mit der Strecke z'. Nun konstruieren wir die Strecke .

Z1.18.png




Um nun die Höhe des Balles an der Position des Gegenspielers zu berechnen, wenden wir den zweiten Strahlensatz an.

Als Zentrum wählen wir den Auftreffpunkt. Gesucht ist die Strecke . Es ergeben sich für unsere Abbildung folgende Möglichkeiten den Strahlensatz aufzustellen:

1.

2.

3.

4.


Im letzten Schritt bestimmen wir jetzt noch die Zeit, die der Ball benötigt, um die Strecke vom Schlagpunkt bis zum StandortGegenspieler zu überwinden. Dazu führen wir die Geschwindigkeit v ein. Diese hat im ersten Zyklus keinen Einfluss auf den Verlauf der linearen Funktion und wird nur zur Berechnung der Zeit eingeführt. Hierzu nutzen wir die Formel . Die Variable s ist die Strecke, die der Ball zurücklegt. Diese ändert sich abhängig vom Schlagwinkel. Die Variable v ist, wie bereits erwähnt, die Geschwindigkeit, diese wird in angegeben und kann jeden Wert im Intervall von annehmen.

Zyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2[Bearbeiten]

Konstruktion des Winkels[Bearbeiten]

Zyklus 2 unserer Modellbildung beschäftigt sich zunächst mit der Konstruktion des Abwurfwinkels. Dazu wurde ein geeignetes Bild eines aufschlagenden Tennisspielers gesucht, anhand welchem wir durch eine einfache Konstruktion den tatsächlichen Abwurfwinkel konstruieren konnten. Das Bild zeigt den amerikanischen Profi John Isner beim sogenannten "Geraden Aufschlag", der zudem für seine starken Aufschläge bekannt ist. Das im Profil aufgenommene Bild, zeigt John Isner zum genauen Zeitpunkt des Balltreffpunktes. Durch das geeignete Setzen von Punkten kann man durch das Programm den Winkel von 10.62° konstruieren.


Datenerfassung bzgl. des geraden Aufschlages[Bearbeiten]

Tennisfeld.png

Anhand von statistischen Daten wollen wir erfassen, wo erste Aufschläge hauptsächlich hingespielt werden und wo aus ihnen ein direkter Punkt in Form eines Aufschlag-Asses resultiert. Dazu betrachten wir ausschließlich Aufschläge von rechts und unterteilen das linke Aufschlagfeld, in welchem der Ball landen muss, in 64 gleich große Rechtecke - 0,51m auf 0,8m - und werten Videos dementsprechend aus.





Anschließend erstellen wir zu den aufgenommenen Daten eine mehrdimensionale Normalverteilung aus der sich eine Verteilung der Aufschläge und der daraus resultierenden Asse ergibt. Aus 961 ergaben sich 377 Asse.

Hier die jeweiligen Absoluten Verteilungen:

Absolute.png

Hier die Relativen Verteilungen:

Relative Verat.png

Nun die Relativen Verteilungen in drei-dimensionaler Darstellung:

Imageads.png


Man erkennt, dass die meisten Aufschläge in die rechte hintere Ecke platziert werden, gefolgt von die linken hinteren Ecke.

Hier ist die Wahrscheinlichkeit auch am größten, dass aus dem Aufschlag ein Ass resultiert.

Simulation des Aufschlages[Bearbeiten]

In einem weiteren Schritt wollen wir analysieren, wieso es im Bereich der Punkte, die die höchste Dichte aufweisen zu einem Ass gekommen ist. Dazu erstellen wir mittels GeoGebra eine Vereinfachung des Sachverhalts. Beispielsweise gehen wir dabei von einem glatten Aufschlag, ohne Schnitt aus, sodass die Wurfparabel des Balles sich auf einer Geraden festsetzen lässt

Konstruktion der Simulation[Bearbeiten]

Abhängigkeiten der Grafikfenster[Bearbeiten]

Wir beginnen unsere Konstruktion, indem wir die Aufsicht auf einen Tennisplatz in einem 2D Grafik-Fenster von GeoGebra erstellen und die entsprechenden Strecken, die einen Tennisplatz definieren, getreu den Maßen eines Platzes anfertigen.

Anschließend definieren wir eine festen Standpunkt des Aufschlägers in der Aufsicht und erstellen ausgehend von diesem einen "Strahl", auf dem sich der Ball in den kommenden Überlegungen bewegen soll. Dieser Strahl ist dabei abhängig vom sogenannten Schlägerwinkel, der sich aufgrund der unterschiedlichen Schlägerhaltungen des Aufschlägers (je nachdem wie das Handgelenk nach innen oder außen gedreht wird) ergibt.

Der Strahl schneidet nun mehrere, für die Simulation relevante Linien. Dazu zählen das Netz, das Ende des Aufschlagsfelds, das Ende des Spielfelds und eine Bewegungslinie des Gegenspielers, die ca. 1,5m hinter der Grundlinie gewählt wurde. Diese markanten Punkte werden in einem weiteren 2D-Grafikfenster eingetragen, sodass eine Abhängigkeit der beiden Fenster voneinander entsteht. Je nachdem wie wir unseren Schlägerwinkel wählen, verändern sich dementsprechend auch die Entfernungen der Punkte im 2.Grafikfenster.

Konstruktion des Aufschlags[Bearbeiten]

Dies geschieht mithilfe der Formel , diese ist abhängig von:

Bedeutung der weiteren Variablen: ist die Zeit, ist die Schwerebeschleunigung.

  • Abschlaggeschwindigkeit ist frei wählbar
  • Abwurfwinkel ist ebenfalls frei wählbar
  • Höhe des Abwurfs, welcher in unserem Fall auf 3,7m datiert wird.
  • Ortsfaktor , welcher auf der Erde beträgt.

Mathematische Herleitung der Formel[Bearbeiten]

Der Tennisball wird mit einer Geschwindigkeit unter dem Abwurfwinkel schräg getroffen. Dann gilt für die Geschwindigkeitskomponenten, aus denen die Abschlaggeschwindigkeit durch lineare Superposition zusammengesetzt ist (unter Vernachlässigung des Luftwiderstands):

  • horizontal:
  • vertikal:

Daraus ergibt sich für die - und -Ortskomponenten Folgendes:

  • horizontal: horizontale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit:


  • vertikal: vertikale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit plus Geschwindigkeitsänderung durch konstante Beschleunigung:

Die vektorielle Bahngleichung lautet dann:

Die explizite Bahngleichung im Ortsraum (indem man nach auflöst und dann in einsetzt) lautet:

unser Y-Achsenabschnitt an der Stelle x=0 lautet 3,7 und der Winkel ist negativ gewählt , daher ergibt sich

Daraus ergibt sich nun der Auftreffpunkt des Aufschlags als Nullstelle der Bahnkurve. Nun folgt eine erste Abhängigkeit der beiden Fenster voneinander: Wir konstruieren einen Kreis um den Aufschlagspunkt (in unserem Fall fest), wobei der Radius der x-Koordinate des Auftreffpunkts entspricht. Damit lässt sich nun festlegen, in welchem Bereich der Aufschlag, abhängig vom sogenannten Schlägerwinkel aufkommen wird. Nun konstruieren wir eine Halbgerade, die durch den Aufschlagspunkt und den Aufprallpunkt, welcher sich auf dem Kreis befindet, verläuft.


Weiterentwicklungen[Bearbeiten]

Standpunkt des Aufschlägers entlang des Pfeils auf Grundlinie variabel (hier Aufschlag von links)

Es findet eine Weiterentwicklung statt. Der Standpunkt des Aufschlägers auf der Grundlinie nicht mehr fest, sondern variabel gewählt.

Die Bogenlänge[Bearbeiten]

Die Flugbahn des Balls wird nicht länger durch eine Strecke approximiert, sondern durch die Bogenlänge beschrieben. Diese berechnet sich durch

wobei die x-Koordinate des Auftreffpunkts ist.

und somit ist die erste Ableitung der Funktion wie folgt definiert:

Zyklus 2: GeoGebra Simulation https://ggbm.at/vngrp6aq


Zyklus 3 - Niveau Universität[Bearbeiten]

Zyklus 3 beschreibt, welche Faktoren auf den Tennisball während des Flugs einwirken.

Kräfte während des Tennisballflugs[Bearbeiten]

Während diesem Flug wirken drei Kräfte auf den Ball ein: die Erdanziehungskraft, die Luftreibungskraft bzw. Luftwiderstandskraft und -sofern sich der Ball um eine Achse ungleich der Bewegungsrichtung dreht- die Kraft durch den Magnus-Effekt.

Die Erdanziehungskraft[Bearbeiten]

Die Erdanziehungskraft, auch Gravitationskraft genannt, wirkt auf einen Gegenstand senkrecht zum Boden hin.

Formel:

wobei die Masse des Tennisballs und die Gravitationsbeschleunigung ist. Die daraus resultierende Gravitationsbeschleunigung wird in unserer Funktion f(x) s.o. bereits berücksichtigt. Diese ist in unsere Wurfparabel bereits berücksichtigt:

Der Luftwiderstand[Bearbeiten]

Die Richtung der Luftwiderstandskraft ist dabei immer entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung des Tennisballes, ändert sich also ständig. Beschrieben werden kann der Betrag der Luftwiderstandskraft durch die Newton‘sche Widerstandsformel.

Nach dieser gilt:

wobei der Luftwiderstandswert des Tennisballs, die Dichte der Luft, die Querschnittsfläche des Tennisballs und der Betrag der Geschwindigkeit (= Tempo) ist.

Der Magnuseffekt[Bearbeiten]


Als Magnus-Kraft wird die Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung bezeichnet, die verantwortlich für die Bahnabweichung von Objekten ist, die um eine Achse senkrecht zur Bewegungsrichtung rotieren. Die Formel für den Magnuseffekt: wobei der Radius des Tennisballs, die Winkelgeschwindigkeit, die Dichte der Luft, die Querschnittsfläche des Tennisballs und der Betrag der Geschwindigkeit (= Tempo) ist.

Diesen Faktor lassen wir in unserem Modell außer Acht. Lediglich weitere Überlegungen zu diesem Thema könnten sich mit dieser Thematik beschäftigen.

Differentialgleichung der Flugbahn mit Luftwiderstands[Bearbeiten]

Asdfghjk.png

Idee und Ermittlung der einzelnen Geschwindigkeiten[Bearbeiten]

Die auf eine Masse während der Bewegung wirkenden Kräfte sind in der nachfolgenden Skizze dargestellt. In Richtung der Koordinatenachsen gilt unter Berücksichtigung des Vorzeichens der Koordinaten.

bzw.

wobei gilt

Die Luftwiderstandskraft lässt sich wie folgt umschreiben:

K ist Faktor des Luftwiderstandes und berechnet sich ,

wobei der Luftwiderstandswert des Tennisballs, die Dichte der Luft, die Querschnittsfläche des Tennisballs.

Es ergibt sich für unseren Fall des Tennisballs , ,


somit

(1)

(2)


Zunächst betrachten wir (1) wobei die Geschwindigkeit abhängig von der Zeit t in Sekunden betrachtet wird, somit ergibt sich:

wobei

also

Die Geschwindigkeit in x-Richtung beträgt nach einem Zeitschritt zu den wir als bezeichnen:

In Gleichung (2)

verwenden wir ebenso, dass

also

Die Geschwindigkeit in y-Richtung beträgt nach einem Zeitschritt zu den wir als bezeichnen:

In Worten ausgedrückt berechnen wir die Geschwindigkeit in x- und y- Richtung nach jedem Zeitschritt , indem wir zu der Geschwindigkeitsänderung, die durch den Luftwiderstand und die Gravitationsbeschleunigung, welche lediglich in y-Richtung zu beachten ist, zustande kommt, die Geschwindigkeit vor diesem Zeitschritt hinzu addieren.

Die Gesamtgeschwindigkeit nach berechnet sich dann :

In unserem Modell wählen wir = 0,01s (Sekunden).

Nun können wir nach jedem Intervall die neue (Gesamt-)Geschwindigkeit bestimmen, nachdem wir die Geschwindigkeiten in x- und y-Richtung ermittelt haben.

Ermittlung der zurückgelegten Wegstrecken und der Zeit bis zum Aufprall[Bearbeiten]

Dies hilft uns dabei, dass wir nach jedem Zeitintervall bestimmen können, welche Strecke der Ball in x- und y-Richtung in dem jeweiligen Intervall und insgesamt bis zum jeweiligen Zeitpunkt zurückgelegt hat.

Aus ergibt sich für die x-Richtung und für die y-Richtung

Auszug aus den Berechnungen für den Luftwiderstand

Diese Vorgänge wiederholen wir bis zu dem Zeitintervall, in dem die Strecke in y-Richtung den Betragswert der Höhe (y-Wert) des Aufschlagpunkts erreicht hat. Wir wissen also nun, in welchem Zeitintervall der Ball den Boden berührt. Um einen genaueren Zeitwert zu erhalten (es kann ja sein, dass der Ball zu Beginn - oder erst ganz am Ende des Intervalls den Boden berührt), berechnen wir nun die Massenanteile, wodurch sich für die Zeit bis zum Boden die folgende Formel ergibt: mit

  • = Zeit bis zum Aufprall auf dem Boden
  • = untere Grenze unseres Zeitintervalls
  • = obere Grenze des Zeitintervalls
  • = zurückgelegte Strecke in y-Richtung (mit Einberechnung der Größe) zum Zeitpunkt
  • = zurückgelegte Strecke in y-Richtung (mit Einberechnung der Größe) zum Zeitpunkt

Insgesamt können wir nun bestimmen, welche Zeit bis zum Aufprall vergangen ist, welche Strecke in x- und y-Richtung zurückgelegt wurde und welche Geschwindigkeit der Ball zum Zeitpunkt des Auftreffens besitzt.

Auszug aus den berechneten Werten

Konstruktion der Absprungbewegung[Bearbeiten]

Es folgt die Konstruktion der Ballbewegung nach dem Absprung, nach demselben Prinzip wie oben. Die erforderlichen Werte erhalten wir nahezu alle aus der vorangegangen Bewegung. Es sollte noch erwähnt werden, dass wir davon ausgehen, dass der Ball durch Reibung beim Aufprall weitere 5% seiner Geschwindigkeit verliert, d.h. . Einzig die Ermittlung des neuen Winkels muss noch erfolgen, damit modelliert werden kann, wie sich die Gesamtgeschwindigkeit auf die x- und y-Komponente aufteilt.

Um den neuen Absprungwinkel herauszufinden gehen wir erneut davon aus, dass der Ball mit demselben Winkel abspringt, mit dem er auch aufgekommen ist, d.h . Um den zugehörigen Auftreffwinkel zu ermitteln, lassen wir uns von GeoGebra den Winkel zwischen den Punkten , dem Auftreffpunkt, welcher sich zusammensetzt aus und einem Punkt auf der x-Achse, der immer vor dem Auftreffpunkt liegt, beispielsweise dem Standpunkt des Spielers , herausgeben.

Insgesamt sind nun alle Komponenten zur Konstruktion der zweiten Bewegung ermittelt worden und wir können unsere Berechnungen analog zu den oben bereits dargestellten führen.

Wir erhalten nun eine weitere Zeit . Die Gesamtzeit, die der Ball benötigt, um vom Schläger des aufschlagenden Spieler bis zum Gegenspieler zu gelangen, lässt sich dementsprechend durch berechnen. Gleichzeitig erhalten wir einen Wert für die Geschwindigkeit beim Gegenspieler, was sehr interessant im Bezug auf die Interpretation sein kann.

Zyklus 3: GeoGebra Simulation https://ggbm.at/vvqkhpqe




Resümee, Zyklus 3 zu Ende, Abbildungen, Tabelle

Einzelnachweis[Bearbeiten]

  1. „Sustainable development seeks to meet the needs and aspirations of the present without compromising the ability to meet those of the future.“