Tensorprodukt/Abbildungsräume/Produktmenge/Aufgabe/Lösung

Da die Situation symmetrisch ist, genügt es, die Linearität im ersten Eintrag bei fixiertem zweiten Eintrag zu zeigen. Es seien also  ${}f_{1},f_{2}\in \operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}$,   ${}g\in \operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}$  und  ${}a_{1},a_{2}\in K$.  Die Gleichheit ist in ${}\operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)}$ zu zeigen. Dazu sei  ${}i\in I$  und  ${}j\in J$.  Dann ist insgesamt, wobei wir die Vektorraumstruktur auf den Abbildungsräumen und das Distributivgesetz in ${}K$ verwenden,

${}{\begin{aligned}{\left({\left(a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}\right)}\otimes g\right)}(i,j)&={\left(a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}\right)}(i)\cdot g(j)\\&={\left(a_{1}f_{1}(i)+a_{2}f_{2}(i)\right)}\cdot g(j)\\&=a_{1}f_{1}(i)g(j)+a_{2}f_{2}(i)g(j)\\&=a_{1}{\left(f_{1}\otimes g\right)}(i,j)+a_{2}{\left(f_{2}\otimes g\right)}(i,j),\end{aligned}}$

was die Linearität zeigt.

Zur gelösten Aufgabe