Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/N mit Operationen/Beispiel

Wir betrachten ein Modell für die Termmenge der natürlichen Zahlen. Als Grundtermmenge nehmen wir eine Variablenmenge ${}V$, die Konstantenmenge ${}K=\{0\}$, die einstelligen Funktionssymbolmenge ${}F_{1}=\{N\}$ (${}N$ steht für Nachfolger) und die zweistellige Funktionssymbolmenge ${}F_{2}=\{\alpha ,\mu \}$ (für Addition und Multiplikation). Allein aus der Konstante ${}0$ und dem Nachfolgersymbol ${}N$ kann man dann für jede natürliche Zahl eine Repräsentierung finden, nämlich

$N0\,,NN0,\,NNN0,\,NNNN0,\,etc.$

Typische Terme sind dann Ausdrücke wie (${}u,v,w$ seien Variablen)

$\alpha NN0NNNv,\,\mu NN0\alpha NN0NNN0,\,\mu \alpha NNN0\mu NNuN0NNNNw,\,{\text{etc}}.$

Wenn man ${}x'$ statt ${}Nx$, ${}(x+y)$ statt ${}\alpha xy$ und ${}(x\cdot y)$ statt ${}\mu xy$ schreibt, so „verschönern“ sich diese Terme zu

$(0^{\prime \prime }+v^{\prime \prime \prime }),\,(0^{\prime \prime }\cdot (0^{\prime \prime }+0^{\prime \prime \prime })),\,((0^{\prime \prime \prime }+(u^{\prime \prime }\cdot 0^{\prime }))\cdot w^{\prime \prime \prime \prime }),\,{\text{etc}}.$

Mit den Abkürzungen ${}1=0^{\prime }$, ${}2=0^{\prime \prime }$ etc. wird daraus

$2+v^{\prime \prime \prime },\,(2\cdot (2+3)),\,((3+(u^{\prime \prime }\cdot 1))\cdot w^{\prime \prime \prime \prime }),\,{\text{etc}}..$

Man beachte, dass die Einführung dieser Abkürzungen nicht bedeutet, dass dadurch die üblicherweise mit diesen Symbolen verwendeten Rechenregeln erlaubt sind. Der zweite Term oben ist nicht gleich ${}10$, dem zehnten Nachfolger der ${}0$.