Terme und Gleichungen/Einführung/Textabschnitt

Unter einem (arithmetischen) „Term“ versteht man einen „zahlähnlichen“ Ausdruck, der sich aus „Zahlen“ und „Variablen“ mit Hilfe der Verknüpfungssymbole ${}+$ und ${}\cdot$ (eventuell mit ${}-$ und ${}:$ oder daraus abgeleiteten Operationen wie Potenzen) und mit Klammern „korrekt“ bilden lässt. Das sind typischerweise auch die Ausdrücke, die auf einer Seite einer Gleichung (oder Ungleichung) stehen können. Beispielsweise sind

$3\cdot (4+5),\,x,\,2x+7,\,4x^{3}-y,\,(a+b)^{2},\,a^{2}+2ab+b^{2},\,0\cdot 1,\,$

Terme. Dagegen sind

$3\cdot (4+5)),\,2x+7=0,\,$

keine Terme. Bei

$n!,\,{\binom {n}{k}},\,\pi ,\,e^{u},x^{y},\,5^{x},\,{\sqrt {x}},\,\heartsuit$

kann man sich darüber streiten (in der mathematischren Logik wird der Termbegriff unter Bezug auf Funktionssymbole präzisiert), es sind jedenfalls keine rein algebraischen Terme. Wichtig ist, dass man Terme nur dann als gleich ansieht, wenn es sich um dieselbe Zeichenreihe handelt. Beispielsweise sind ${}(a+b)^{2}$ und ${}a^{2}+2ab+b^{2}$ verschiedene Terme. Gleichheit zwischen diesen Ausdrücken gilt nur bei einer bestimmten Interpretation, wenn man ${}a$ und ${}b$ als Elemente eines kommutativen Ringes interpretiert (erste binomische Formel).

Eine wichtige Funktion von Termen ist ihr Auftreten in Gleichungen. Gleichungen und Terme treten in der Mathematik in verschiedener Bedeutung auf.

1) Identitäten von Elementen

Das sind Gleichungen der Form ${}2+4=6$ oder

${}3\cdot 7=21\,,$

die besagen, das zwei irgendwie gegebene Elemente einer Menge gleich sind. ${}2+4$ und ${}6$ sind unterschiedliche Terme, haben aber denselben Zahlwert. In solchen Gleichungen kommen keine Variablen vor. Häufig werden solche Gleichungen verwendet, um etwas auszurechnen, also einen komplizierten Ausdruck in eine Standardform zu bringen.

2) Termidentitäten (Formeln, Rechengesetze)

Beispiel dazu sind

${}a(b+c)=ab+ac\,$

oder

${}(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,$

oder

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

Sie drücken eine Gesetzmäßigkeit aus, die unter bestimmten Bedingungen gilt, beispielsweise wenn ${}a,b$ Elemente eines kommutativen Ringes sind oder wenn ${}a,b$ Kathetenlängen und ${}c$ die Hypotenusenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Charakteristisch für solche Gleichungen ist, dass in ihnen Variablen vorkommen und dass, wenn man für die Variablen simultan (also an jeder Stelle, wo die Variable steht) Elemente, die die Bedingung erfüllen, einsetzt, eine wahre Elementgleichung entsteht. Eine solche Identität repräsentiert also eine Vielzahl an einzelnen Elementgleichungen. Aus dem Distributivgesetz entsteht beispielsweise durch Einsetzen die spezielle Identität ${}3\cdot (5+4)=3\cdot 5+3\cdot 4$.

3) Definitionsgleichungen

Das sind Gleichungen, durch die eine abkürzende Schreibweise für einen komplexeren Ausdruck eingeführt wird. Beispiele sind

$a^{3}=a\cdot a\cdot a,\,n!=n(n-1)\cdot 3\cdot 2\cdot 1,\,\vert {a+bi}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\,P=4x^{2}+7x-5.$

Hierbei schreibt man häufig ${}:=$ statt ${}=$.

4) Gleichungen als Bedingung

Damit sind Gleichungen wie

$4x=9,\,2x+7=0,\,5x^{2}-3x+4=0,\,x=y$

gemeint. In diesen kommen (in aller Regel) Variablen vor, es wird aber nicht eine allgemeingültige Formel zum Ausdruck gebracht, sondern es wird eine Bedingung an die auftretenden Variablen formuliert. D.h. es werden die Elemente gesucht, die die Gleichungen erfüllen, die man also für die Variablen einsetzen kann, damit eine wahre Elementidentität entsteht. Gleichungen in diesem Sinne definieren die Aufgabenstellung, nach Lösungen zu suchen. Statt einer einzigen Gleichung kann auch ein (beispielsweise lineares) Gleichungssystem vorliegen.

Manche Gleichungen kann man in mehrfacher Weise auffassen. So kann man die Gleichung

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

als Gesetzmäßigkeit in einem rechtwinkligen Dreieck auffassen (bei richtiger Interpretation der einzelnen Variablen) oder als Aufgabenstellung, alle Tripel ${}(a,b,c)$ zu bestimmen, die diese Gleichung erfüllen.