Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Aufzählbar, vollständig, widerspruchsfrei/Entscheidbar/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt bedeutet die aufzählbare Axiomatisierbarkeit, dass schon die Theorie selbst aufzählbar ist. Sei also ${}T$ aufzählbar, vollständig und widerspruchsfrei, und sei ${}\alpha _{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, eine Aufzählung von ${}T$. Es sei ${}\beta \in L_{0}^{S}$ ein Satz. Wegen der Widerspruchsfreiheit und der Vollständigkeit gilt entweder ${}\beta \in T$ oder ${}\neg \beta \in T$. Daher kommt entweder ${}\beta$ oder ${}\neg \beta$ in der Aufzählung von ${}T$ vor. Bei ${}\alpha _{n}=\beta$ ist ${}\beta \in T$ und bei ${}\alpha _{n}=\neg \beta$ ist ${}\beta \notin T$.

Zur bewiesenen Aussage