Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Widersprüchlich/Nicht entscheidbar/Bemerkung

Eine widersprüchliche Theorie ist natürlich aufzählbar, vollständig und entscheidbar, da sie jeden Satz enthält. Ohne die Voraussetzung der Widerspruchsfreiheit ist aber das Argument im Beweis zu Fakt nicht durchführbar. Wenn in einer Aufzählung einer Theorie eine widersprüchliche Aussage auftritt, so ist die Theorie natürlich widersprüchlich. Wenn aber bis zu einem bestimmten Zeitpunkt keine widersprüchliche Aussage auftritt, so lässt sich nicht entscheiden, ob dies an der Widerspruchsfreiheit der Theorie oder der Art der Aufzählung liegt. Wenn also in der Aufzählung ${}\neg \beta$ vorkommt, so kann man daraus nicht ohne die Bedingung der Widerspruchsfreiheit auf ${}\beta \notin T$ schließen.