Theorie der Radikale (kommutative Algebra)/Radikal zu einem Ideal/ist ein Ideal/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen zunächst, dass ein Ideal vorliegt. ${}0$ gehört offenbar zum Radikal und mit  ${}f\in \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$,  sagen wir  ${}f^{r}\in {\mathfrak {a}}$,  ist auch  ${}(af)^{r}=a^{r}f^{r}\in {\mathfrak {a}}$,  also gehört ${}af$ zum Radikal. Zur Summeneigenschaft seien  ${}f,g\in \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$  mit  ${}f^{r}\in {\mathfrak {a}}$  und  ${}g^{s}\in {\mathfrak {a}}$.  Dann ist

${}(f+g)^{r+s}=\sum _{i+j=r+s}{\binom {r+s}{i}}f^{i}g^{j}=\sum _{i+j=r+s,\,i<r}{\binom {r+s}{i}}f^{i}g^{j}+\sum _{i+j=r+s,\,i\geq r}{\binom {r+s}{i}}f^{i}g^{j}\in {\mathfrak {a}}\,.$

Es sei nun  ${}f^{k}\in \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$.  Dann ist  ${}(f^{k})^{r}=f^{kr}\in {\mathfrak {a}}$,  also  ${}f\in \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$. 

Zur bewiesenen Aussage