Wir zeigen zunächst, dass ein Ideal vorliegt. 0 {\displaystyle {}0} gehört offenbar zum Radikal und mit f ∈ rad ( a ) {\displaystyle {}f\in \operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})} , sagen wir f r ∈ a {\displaystyle {}f^{r}\in {\mathfrak {a}}} , ist auch ( a f ) r = a r f r ∈ a {\displaystyle {}(af)^{r}=a^{r}f^{r}\in {\mathfrak {a}}} , also gehört a f {\displaystyle {}af} zum Radikal. Zur Summeneigenschaft seien f , g ∈ rad a {\displaystyle {}f,g\in \operatorname {rad} \,{\mathfrak {a}}} mit f r ∈ a {\displaystyle {}f^{r}\in {\mathfrak {a}}} und g s ∈ a {\displaystyle {}g^{s}\in {\mathfrak {a}}} . Dann ist
Es sei nun f k ∈ rad ( a ) {\displaystyle {}f^{k}\in \operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})} . Dann ist ( f k ) r = f k r ∈ a {\displaystyle {}(f^{k})^{r}=f^{kr}\in {\mathfrak {a}}} , also f ∈ rad ( a ) {\displaystyle {}f\in \operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}})} .