Topologie/Überlagerungen/Überlagerung/Beispiel

Nun folgt eine Liste von Überlagerungen.

1. Die Exponentialabbildung ${}\exp \colon \mathbb {R} \to S^{1},\,x\mapsto e^{2\pi ix}$ ist eine Überlagerung. Als Elementar-Überdeckung funktioniert ${}{\bigl \lbrace }S^{1}\smallsetminus \{1\},S^{1}\smallsetminus \{-1\}{\bigr \rbrace }$. Es sei ${}F_{1}=\mathbb {Z} =F_{-1}$ (versehen mit der diskreten Topologie) und definiere

   ${}\phi _{1}\colon \exp ^{-1}(S^{1}\smallsetminus \{1\})=\mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Z} \to (S^{1}\smallsetminus \{1\})\times \mathbb {Z} \ \ x\mapsto {\bigl (}\exp(x),\max\{a\in \mathbb {Z} \colon a<x\})\,.$

   Dann ist ${}\phi _{1}$ eine topologische Äquivalenz. Die Abbildung ${}\phi _{-1}\colon \exp ^{-1}(S^{1}\smallsetminus \{-1\})\to (S^{1}\smallsetminus \{-1\})\times \mathbb {Z}$ sieht so ähnlich aus.
2. Die kanonische Abbildung ${}p\colon S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}$ ist eine Überlagerung. Als Elementar-Überdeckung kann man die Standard-Überdeckung verwenden.
3. Die Abbildung ${}z\mapsto z^{n}$ ist eine Überlagerung ${}S^{1}\to S^{1}$.
4. Jede topologische Äquivalenz ist eine Überlagerung.
5. Die Abbildung des leeren topologischen Raumes in irgendeinen topologischen Raum ist eine Überlagerung.
6. Die Einschränkung der Exponentialabbildung auf ${}(-1,1)$ ist keine Überlagerung von ${}S^{1}$.
7. Die Hopf-Abbildung ${}\eta \colon S^{3}\to \mathbb {CP} ^{1}$ ist keine Überlagerung.