Topologie/Überlagerungen/Abbildungen der universellen Überlagerung/Reell projektiver Raum/Beispiel

Es sei $p:S^n\to {ℝ\mathbb{P}}^n$ die kanonische Überlagerung und $n\ge 2$. Dann ist $S^n$ einfach-zusammenhängend nach diesem Beispiel. Da ${ℝ\mathbb{P}}^n$ semi-lokal einfach-zusammenhängend und zusammenhängend ist, ist die Decktransformationengruppe von $p:S^n\to {ℝ\mathbb{P}}^n$ isomorph zur Fundamentalgruppe von ${ℝ\mathbb{P}}^n$. Man sieht relativ leicht, dass es genau zwei Decktransformationen gibt: die Identität und die Abbildung $x\mapsto -x$. Also ist die Fundamentalgruppe von ${ℝ\mathbb{P}}^n$ die Gruppe mit zwei Elementen.