Topologie/Überlagerungen/Liftungssatz/Beispiel

Es sei ${}Y$ der Warschauer Kreis, also die Vereinigung des Abschlusses ${}{\overline {\Gamma }}$ des Graphen ${}\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{2}$ von ${}x\mapsto \sin({\frac {1}{x}}),\,x\in (0,1]$ und einem Kreisbogen ${}K$ von ${}(0,0)$ nach ${}(1,\sin(1))$, der ${}{\overline {\Gamma }}$ nicht trifft. Der topologische Raum ${}Y$ ist weg-zusammenhängend, aber nicht lokal weg-zusammenhängend. Des weiteren ist ja ${}{\overline {\Gamma }}$ das Standard-Beispiel eines zusammenhängenden Raumes, der nicht weg-zusammenhängend ist. Den Beweis dieser Tatsache kann man verwenden, um zu zeigen, dass ${}\pi _{1}(Y,(0,0))$ die triviale Gruppe ist. Es sei ${}y_{0}=(0,0)\in Y$ und ${}f\colon Y\to S^{1}$ eine Abbildung, die ${}{\overline {\Gamma }}$ auf ${}1\in S^{1}$ abbildet und eine topologische Äquivalenz ${}Y/{\overline {\Gamma }}\to S^{1}$ induziert. Der Beweis des Liftungssatz liefert nun eine Abbildung

${}{\tilde {f}}\colon (Y,y_{0})\to (\mathbb {R} ,0)\,$

mit den Eigenschaften

${}{\tilde {f}}(y)=0\,\forall \,y\in \{0\}\times [-1,1]\subseteq {\overline {\Gamma }}\subseteq Y\ \ \ {\tilde {f}}(y)=1\,\forall \,y\in \Gamma \subseteq {\overline {\Gamma }}\subseteq Y\,.$

Die Abbildung ${}{\tilde {f}}$ ist aber nicht stetig.