Topologie/Überlagerungen/Liftungssatz/Fakt/Beweis

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Beweis

Eine Implikation folgt sofort aus der Funktorialität der Fundamentalgruppe. Sei eine stetige Abbildung mit . Dann ist

Um die Abbildung aus den gegebenen Daten zu konstruieren, benutzt man die sogenannte Fakt von Überlagerungen in einem Spezialfall. Denn sei . Da zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist, ist nach Fakt weg-zusammenhängend. Sei also ein Weg von nach . Nach Fakt gibt es genau einen Weg mit den Eigenschaften, dass und gilt. Setze nun . Dies hängt gegebenenfalls von der Wahl des Weges ab. Um zu zeigen, dass dies nicht der Fall ist, seien nun zwei Wege in von nach . Dann ist eine Schleife in am Basispunkt . Insbesondere ist

nach Voraussetzung. Also existiert eine Schleife mit der Eigenschaft, dass

Sei eine Homotopie von zu relativ zu . Wieder nach Fakt gibt es genau eine Homotopie mit der Eigenschaft, dass und . Aus und

folgt
denn ist zusammenhängend. Somit ist auch eine Homotopie relativ . Insbesondere ist die Abbildung eine Schleife an . Sie ist aber nach Konstruktion ein (und aufgrund der durch den fixierten Anfangspunkt erzwungenen Eindeutigkeit der) Lift der Schleife . Betrachte nun den Lift der Schleife

Dieser Lift kann in zwei Schritten konstruiert werden. Im ersten Schritt konstruiert man den Lift der Schleife zum Anfangspunkt , und das haben wir mit der Einschränkung von auf bereit getan. Im zweiten Schritt konstruiert man den Lift des Weges zu dem Anfangspunkt, der gerade der Endpunkt des im ersten Schritt konstruierten Liftes ist. Dieser Lift war ja, wie bereits gezeigt, eine Schleife an , also ist dies . Offensichtlich ist homotop relativ zu , was nach Fakt auch für die Lifts gilt. Es folgt insbesondere

was zeigt, dass wohldefiniert ist.

Nun zur Stetigkeit von . Sei und eine Umgebung des Bildpunktes. Gesucht ist eine Umgebung mit . Diese konstruiert man wie folgt. Sei eine offene Menge aus einer Elementarüberdeckung mit . Sei weiter eine topologische Äquivalenz. Dann ist die Einschränkung von auf ebenso eine topologische Äquivalenz. Insbesondere ist

eine Umgebung von . Dann ist aber auch eine Umgebung von . Da stetig ist, gibt es eine Umgebung mit . Nun ist nach Voraussetzung lokal weg-zusammenhängend. Demnach gibt es eine weg-zusammenhängende Umgebung . Die Behauptung ist nun, dass gilt. Denn sei . Zur Konstruktion von benötigen wir einen Weg von nach . Sei ein Weg von nach und sei ein Weg von nach , der ganz in verläuft. Dann ist ein Weg von nach . Der Endpunkt ist also gegeben durch den Endpunkt des Liftes zum Anfangspunkt . Da
eine topologische Äquivalenz ist und , ist der Lift zum Anfangspunkt ein Weg mit Bild in . Insbesondere ist der Endpunkt , was zu zeigen war.