Eine Implikation folgt sofort aus der Funktorialität der Fundamentalgruppe. Es sei
eine stetige Abbildung mit
. Dann ist
-
![{\displaystyle {}f_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(Y,y_{0}){\bigr )}=(p\circ {\tilde {f}})_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(Y,y_{0}){\bigr )}=p_{\ast }{\bigl (}{\tilde {f}}_{\ast }(\pi _{1}(Y,y_{0})){\bigr )}\subseteq p_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(E,e_{0}){\bigr )}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59708ae0dfd57fba0055138e4be3e338ebe81c9)
Um die Abbildung
aus den gegebenen Daten zu konstruieren, benutzt man die sogenannte
Fakt
von Überlagerungen in einem Spezialfall. Denn sei
. Da
zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist, ist
nach
Fakt
weg-zusammenhängend. Es sei also
ein Weg von
nach
. Nach
Fakt
gibt es genau einen Weg
mit den Eigenschaften, dass
und
gilt. Setze nun
. Dies hängt gegebenenfalls von der Wahl des Weges
ab. Um zu zeigen, dass dies nicht der Fall ist, seien nun
zwei Wege in
von
nach
. Dann ist
eine Schleife in
am Basispunkt
. Insbesondere ist
-
![{\displaystyle {}f_{\ast }{\bigl (}[w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}]{\bigr )}=[f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}})]\in f_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(Y,y_{0}){\bigr )}\subseteq p_{\ast }{\bigl (}\pi _{1}(E,e_{0}){\bigr )}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7dbb99b4b73c316e7198323958fdb678110369)
nach Voraussetzung. Also existiert eine Schleife
mit der Eigenschaft, dass
-
![{\displaystyle {}p_{\ast }([u])=f_{\ast }([w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}])\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e391ec2d41275b4ec4054cc6c42d2fceb0ed6db)
Es sei
eine Homotopie von
zu
relativ zu
. Wieder nach
Fakt
gibt es genau eine Homotopie
mit der Eigenschaft, dass
und
. Aus
und
folgt
-
![{\displaystyle {}{\tilde {H}}(0,t)=x_{0}={\tilde {H}}(1,t)\,\forall \,t\in I\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df34621f1e309cfcafbb3595a9ecefb1265ff3d5)
denn
![{\displaystyle {}I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f0f26f3c8795b5a82e275342dcc3bd42e64d8e)
ist zusammenhängend. Somit ist auch
![{\displaystyle {}{\tilde {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c21133fce0631ac08c3c3d64714f7bde5b038e)
eine Homotopie relativ
![{\displaystyle {}\{0,1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38e01e03743740bfb230e839420423e380bc9fa)
. Insbesondere ist die Abbildung
![{\displaystyle {}s\mapsto {\tilde {H}}(s,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6311bb53033cdb5ba262fe17441a6801de406adf)
eine Schleife an
![{\displaystyle {}e_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11583c37dc264e5a1d00d3c6d748010e2926cd6c)
. Sie ist aber nach Konstruktion ein (und aufgrund der durch den fixierten Anfangspunkt erzwungenen Eindeutigkeit
der) Lift der Schleife
![{\displaystyle {}f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac03005c83c96bf47291a2285bfe96caf9cbf878)
. Betrachte nun den Lift der Schleife
-
![{\displaystyle {}f\circ {\bigl (}(w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}){\scriptscriptstyle {\Box }}w_{1}{\bigr )}=f\circ (w_{2}{\scriptscriptstyle {\Box }}{\overline {w_{1}}}){\scriptscriptstyle {\Box }}(f\circ w_{1})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3465f2073ddce0a258c86783b37bf503ee75539)
Dieser Lift kann in zwei Schritten konstruiert werden. Im ersten Schritt konstruiert man den Lift der Schleife
zum Anfangspunkt
, und das haben wir mit der Einschränkung von
auf
bereit getan. Im zweiten Schritt konstruiert man den Lift des Weges
zu dem Anfangspunkt, der gerade der Endpunkt des im ersten Schritt konstruierten Liftes ist. Dieser Lift war ja, wie bereits gezeigt, eine Schleife an
, also ist dies
. Offensichtlich ist
homotop relativ
zu
, was nach
Fakt
auch für die Lifts gilt. Es folgt insbesondere
-
![{\displaystyle {}{\tilde {f\circ w_{1}}}(1)={\tilde {f\circ w_{2}}}(1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6e84bdcba0f9082b60a3e6239ebb0245778bb2c)
was zeigt, dass
wohldefiniert ist.
Nun zur Stetigkeit von
. Es sei
und
eine Umgebung des Bildpunktes. Gesucht ist eine Umgebung
mit
. Diese konstruiert man wie folgt. Es sei
eine offene Menge aus einer Elementarüberdeckung mit
. Es sei weiter
eine topologische Äquivalenz. Dann ist die Einschränkung von
auf
ebenso eine topologische Äquivalenz. Insbesondere ist
-
![{\displaystyle {}V^{\prime }:=V\cap \phi ^{-1}(U\times \{{\tilde {f}}(y)\})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69bb9e9dbd0703a7c135ca502b587df6c8cd664b)
eine Umgebung von
![{\displaystyle {}{\tilde {f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e832313dd4b0c17949e98fc3784d308e96f63714)
. Dann ist aber auch
![{\displaystyle {}p(V^{\prime })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6171723ed48e39b6264c117ec0ecb22a95a4c515)
eine Umgebung von
![{\displaystyle {}f(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ddf8d12457b3f6a6837d06528dce9f1a60e035a)
. Da
![{\displaystyle {}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9d898a4aa67d3184ece545a662f5c63925507e0)
stetig ist, gibt es eine Umgebung
![{\displaystyle {}y\in W^{\prime }\subseteq Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b12082fd8d79ae91b022cf0ca0744db400cb79f)
mit
![{\displaystyle {}f(W^{\prime })\subseteq p(V^{\prime })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9df4e2e8e3c68525cce298a0a8be5f83244897)
. Nun ist
![{\displaystyle {}Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632d1069899d5da3e4156176d8146589da8e4680)
nach Voraussetzung lokal weg-zusammenhängend. Demnach gibt es eine weg-zusammenhängende Umgebung
![{\displaystyle {}y\in W\subseteq W^{\prime }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab160de896560e013fb9223bc1f7b24fb6cebc4)
. Die Behauptung ist nun, dass
![{\displaystyle {}{\tilde {f}}(W)\subseteq V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715166379eecc18be672d42328266c2c29b61f6a)
gilt. Denn sei
![{\displaystyle {}z\in W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780707de89ef9530b991d58183f30ccea96f84ea)
. Zur Konstruktion von
![{\displaystyle {}{\tilde {f}}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b3f428de85c5a5493d341328e6562e77d1e4ce)
benötigen wir einen Weg
![{\displaystyle {}w_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c68ee8fccaecc6fc2236280e1d827f095fd3e676)
von
![{\displaystyle {}y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214f6a376add0688f62aa0767226808bbb1f2832)
nach
![{\displaystyle {}z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf5321978681d2ca477978ee8c4d5e0e08b795f)
. Es sei
![{\displaystyle {}w_{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/758e156de30ee562e6926de4ec031733089b49c0)
ein Weg von
![{\displaystyle {}y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214f6a376add0688f62aa0767226808bbb1f2832)
nach
![{\displaystyle {}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd2b4987a4ef46d91cd4fa818433449e2e03bfd)
und sei
![{\displaystyle {}w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a081b959224a8003fbaa26385f8c372743878767)
ein Weg von
![{\displaystyle {}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd2b4987a4ef46d91cd4fa818433449e2e03bfd)
nach
![{\displaystyle {}z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf5321978681d2ca477978ee8c4d5e0e08b795f)
, der ganz in
![{\displaystyle {}W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec608b4df65c13fc94d2d51d1307957d559778fb)
verläuft. Dann ist
![{\displaystyle {}w_{y}{\scriptscriptstyle {\Box }}w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab9f11f3e5c013c14293e54081a5d5b5b447189e)
ein Weg von
![{\displaystyle {}y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214f6a376add0688f62aa0767226808bbb1f2832)
nach
![{\displaystyle {}z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf5321978681d2ca477978ee8c4d5e0e08b795f)
. Der Endpunkt
![{\displaystyle {}{\tilde {f}}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abb4a27ce0bbb74fc41f4952ae9222cbfdbb5530)
ist also gegeben durch den Endpunkt des Liftes
![{\displaystyle {}{\tilde {f\circ w}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e485e22fc096597b3017088cba843a5b76e005)
zum Anfangspunkt
![{\displaystyle {}{\tilde {f}}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b3f428de85c5a5493d341328e6562e77d1e4ce)
. Da
-
![{\displaystyle {}p\colon V^{\prime }\to p(V^{\prime })\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4fa1b0f9b046e1c3f700de40049aae57b4611a2)
eine topologische Äquivalenz ist und
![{\displaystyle {}f(W)\subseteq p(V^{\prime })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8839d0ff2c3434623df538f89423b7b3f311755b)
, ist der Lift
![{\displaystyle {}{\tilde {f\circ w}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e485e22fc096597b3017088cba843a5b76e005)
zum Anfangspunkt
![{\displaystyle {}{\tilde {f}}(y)\in V^{\prime }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441ff4b6d699227ed0b625af6a999354b5f8a870)
ein Weg mit Bild in
![{\displaystyle {}V^{\prime }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ceb24277d7788a7fba2b9819d5d21f8bb706e3)
. Insbesondere ist der Endpunkt
![{\displaystyle {}{\tilde {f}}(z)\in V^{\prime }\subseteq V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f018361935fc15c9de717b7ff72f64140bda193)
, was zu zeigen war.