Topologie/Überlagerungen/Operation auf der Faser/Fakt/Beweis
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Beweis
- Es ist zu zeigen, dass die Gleichungen und für alle und gelten. Sei der Lift von zum Anfangspunkt und der Lift von zum Anfangspunkt . Dann ist der Lift von zum Anfangspunkt . Die Gleichung
- Sind zwei Punkte in derselben Bahn, also für ein , so gibt es insbesondere einen Weg in von nach . Die Komposition der Inklusion und der kanonische Projektion induziert also eine Abbildung
Die Abbildung ist injektiv. Denn wenn und ein Weg in von nach ist, so ist eine Schleife an mit der Eigenschaft, dass . Die Abbildung ist surjektiv. Denn wenn beliebig ist, so gibt es in einen Weg von nach -- schließlich ist weg-zusammenhängend. Der Lift dieses Weges zum Anfangspunkt ist ein Weg zu einem Element in .
- Sei nun und derart, dass . Dann ist aber der Lift von zum Anfangspunkt eine Schleife an mit der Eigenschaft, dass
Es folgt, dass . Ist hingegen eine Schleife an , so ist , was die Inklusion zeigt.
- Sei eine Abbildung von Überlagerungen. Ist , so gilt ja wegen
auch . Demnach schränkt auf eine Abbildung
was zeigt, dass eine Abbildung von rechten -Mengen ist.