Topologie/Überlagerungen/Operation auf der Faser/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Es ist zu zeigen, dass die Gleichungen und für alle und gelten. Sei der Lift von zum Anfangspunkt und der Lift von zum Anfangspunkt . Dann ist der Lift von zum Anfangspunkt . Die Gleichung
    liefert dann die Identität . Der Lift der konstanten Schleife zum Anfangspunkt ist die konstante Schleife , was die Identität liefert.
  2. Sind zwei Punkte in derselben Bahn, also für ein , so gibt es insbesondere einen Weg in von nach . Die Komposition der Inklusion und der kanonische Projektion induziert also eine Abbildung

    Die Abbildung ist injektiv. Denn wenn und ein Weg in von nach ist, so ist eine Schleife an mit der Eigenschaft, dass . Die Abbildung ist surjektiv. Denn wenn beliebig ist, so gibt es in einen Weg von nach -- schließlich ist weg-zusammenhängend. Der Lift dieses Weges zum Anfangspunkt ist ein Weg zu einem Element in .

  3. Sei nun und derart, dass . Dann ist aber der Lift von zum Anfangspunkt eine Schleife an mit der Eigenschaft, dass

    Es folgt, dass . Ist hingegen eine Schleife an , so ist , was die Inklusion zeigt.

  4. Sei eine Abbildung von Überlagerungen. Ist , so gilt ja wegen auch . Demnach schränkt auf eine Abbildung
    ein. Um zu zeigen, dass dies eine Abbildung von rechten -Mengen ist, sei . Ist der Lift von zum Anfangspunkt , so ist der Lift von zum Anfangspunkt . Denn . Somit ist

    was zeigt, dass eine Abbildung von rechten -Mengen ist.