Topologie/Überlagerungen/Operation auf der Faser/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es ist zu zeigen, dass die Gleichungen ${}(y\cdot [u])\cdot [v]=y\cdot [u{\scriptscriptstyle {\Box }}v]$ und ${}y\cdot [x_{0}]=y$ für alle ${}y\in p^{-1}(x_{0})$ und ${}[u],[v]\in \pi _{1}(X,x_{0})$ gelten. Sei ${}u^{\prime }\colon I\to E$ der Lift von ${}u\colon I\to X$ zum Anfangspunkt ${}y$ und ${}v^{\prime }\colon I\to E$ der Lift von ${}v\colon I\to X$ zum Anfangspunkt ${}u^{\prime }(1)$. Dann ist ${}u^{\prime }{\scriptscriptstyle {\Box }}v^{\prime }\colon I\to E$ der Lift von ${}u{\scriptscriptstyle {\Box }}v\colon I\to X$ zum Anfangspunkt ${}y$. Die Gleichung

   ${}u^{\prime }{\scriptscriptstyle {\Box }}v^{\prime }(1)=v^{\prime }(1)\,$

   liefert dann die Identität ${}(y\cdot [u])\cdot [v]=y\cdot [u{\scriptscriptstyle {\Box }}v]$. Der Lift der konstanten Schleife ${}x_{0}\colon I\to X$ zum Anfangspunkt ${}y$ ist die konstante Schleife ${}y\colon I\to E$, was die Identität ${}y\cdot [x_{0}]=y$ liefert.
2. Sind zwei Punkte ${}y,z\in p^{-1}(x_{0})$ in derselben Bahn, also ${}y\cdot [u]=z$ für ein ${}[u]\in \pi _{0}(X,x_{0})$, so gibt es insbesondere einen Weg in ${}E$ von ${}y$ nach ${}z$. Die Komposition der Inklusion ${}i\colon p^{-1}(x_{0})\hookrightarrow E$ und der kanonische Projektion ${}q\colon E\to \pi _{0}(E)$ induziert also eine Abbildung

   ${}\phi \colon p^{-1}(x_{0})/G\to \pi _{0}(E)\,.$

   Die Abbildung ${}\phi$ ist injektiv. Denn wenn ${}y,z\in p^{-1}(x_{0})$ und ${}w$ ein Weg in ${}E$ von ${}y$ nach ${}z$ ist, so ist ${}p\circ w\colon I\to X$ eine Schleife an ${}x_{0}$ mit der Eigenschaft, dass ${}y\cdot [p\circ w]=z$. Die Abbildung ${}\phi$ ist surjektiv. Denn wenn ${}z\in E$ beliebig ist, so gibt es in ${}X$ einen Weg von ${}p(z)$ nach ${}x_{0}$ -- schließlich ist ${}X$ weg-zusammenhängend. Der Lift dieses Weges zum Anfangspunkt ${}z$ ist ein Weg zu einem Element in ${}p^{-1}(x_{0})$.

3. Sei nun ${}y\in p^{-1}(x_{0})$ und ${}[u]\in \pi _{1}(X,x_{0})$ derart, dass ${}y\cdot [u]=y$. Dann ist aber der Lift ${}u^{\prime }\colon I\to E$ von ${}u$ zum Anfangspunkt ${}y$ eine Schleife an ${}y$ mit der Eigenschaft, dass

   ${}p_{\ast }([u^{\prime }])=[p\circ u^{\prime }]=[u]\,$

   Es folgt, dass ${}G_{y}\subseteq p_{\ast }(\pi _{1}(E,y))$. Ist hingegen ${}v\colon I\to E$ eine Schleife an ${}y$, so ist ${}y\cdot [p\circ v]=v(1)=y$, was die Inklusion ${}G_{y}\supseteq p_{\ast }(\pi _{1}(E,y))$ zeigt.

4. Sei ${}f\colon E_{1}\to E_{2}$ eine Abbildung von Überlagerungen. Ist ${}y\in p_{1}^{-1}(x_{0})$, so gilt ja wegen ${}p_{2}\circ f=p_{1}$ auch ${}f(y)\in p_{2}^{-1}(x_{0})$. Demnach schränkt ${}f$ auf eine Abbildung

   ${}f\colon p_{1}^{-1}(x_{0})\to p_{2}^{-1}(x_{0})\,$

   ein. Um zu zeigen, dass dies eine Abbildung von rechten ${}G$-Mengen ist, sei ${}[u]\in G=\pi _{1}(X,x_{0})$. Ist ${}u^{\prime }\colon I\to E_{1}$ der Lift von ${}u$ zum Anfangspunkt ${}y\in E_{1}$, so ist ${}f\circ u^{\prime }$ der Lift von ${}u$ zum Anfangspunkt ${}f(y)\in E_{1}$. Denn ${}p_{2}\circ (f\circ u^{\prime })=p_{1}\circ u^{\prime }=u$. Somit ist

   ${}f(y)\cdot [u]=(f\circ u^{\prime })(1)=f(u^{\prime }(1))=f(y\cdot [u])\,,$

   was zeigt, dass ${}f$ eine Abbildung von rechten ${}G$-Mengen ist.

Zur bewiesenen Aussage