- Es ist zu zeigen, dass die Gleichungen und für alle und gelten. Es sei der Lift von zum Anfangspunkt und der Lift von zum Anfangspunkt . Dann ist der Lift von zum Anfangspunkt . Die Gleichung
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liefert dann die Identität . Der Lift der konstanten Schleife zum Anfangspunkt ist die konstante Schleife , was die Identität liefert.
- Sind zwei Punkte in derselben Bahn, also für ein , so gibt es insbesondere einen Weg in von nach . Die Komposition der Inklusion und der kanonische Projektion induziert also eine Abbildung
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Die Abbildung ist injektiv. Denn wenn und ein Weg in von nach ist, so ist eine Schleife an mit der Eigenschaft, dass . Die Abbildung ist surjektiv. Denn wenn beliebig ist, so gibt es in einen Weg von nach -- schließlich ist weg-zusammenhängend. Der Lift dieses Weges zum Anfangspunkt ist ein Weg zu einem Element in .
- Es sei nun und derart, dass . Dann ist aber der Lift von zum Anfangspunkt eine Schleife an mit der Eigenschaft, dass
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Es folgt, dass . Ist hingegen eine Schleife an , so ist , was die Inklusion zeigt.
- Es sei eine Abbildung von Überlagerungen. Ist , so gilt ja wegen
auch . Demnach schränkt auf eine Abbildung
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ein. Um zu zeigen, dass dies eine Abbildung von rechten -Mengen ist, sei . Ist der Lift von zum Anfangspunkt , so ist der Lift von zum Anfangspunkt . Denn . Somit ist -
was zeigt, dass eine Abbildung von rechten -Mengen ist.