Topologie/Grundbegriffe/Keine Topologische Äquivalenz/Beispiel

Es sei ${}f\colon [0,1)\to S^{1}$ die Einschränkung der Exponentialabbildung auf das halboffene Intervall ${}[0,1)$. Diese Abbildung ist stetig und bijektiv, aber die Umkehrabbildung ${}g$ ist nicht stetig. Denn es ist ${}e^{2\pi i{\frac {-1}{n}}}$ eine Folge mit

${}\lim _{n\geq 2}e^{2\pi i{\frac {-1}{n}}}=1{\text{ und }}\lim _{n\geq 2}g(e^{2\pi i{\frac {-1}{n}}})=\lim _{n\geq 2}{\frac {n-1}{n}}=1\neq g(1)=0\,.$

Dieses Phänomen tritt bei Gruppenhomomorphismen nicht auf. Ist ${}\phi$ ein bijektiver Gruppenhomomorphismus, so ist die Umkehrabbildung automatisch ein Gruppenhomomorphismus. In der kommenden Veranstaltung werden wir topologische Kriterien erarbeiten, die dieses pathologische Phänomen ausschließen.