Topologie/Grundbegriffe/Metrik/Beispiel

• Es sei $V$ ein $ℝ$ -Vektorraum und $||||:V\to ℝ$ eine Norm auf $V$. Dann ist $d(x,y):=||x-y||$ eine Metrik auf $V$, wie man leicht nachrechnet. Somit ist jeder normierte Vektorraum ein metrischer Raum. Ein wichtiger Spezialfall ist der euklidische Raum ${ℝ}^n$ mit der durch die euklidische Norm

  $||(x_1,x_2,\dots ,x_n)||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2}$

  gegebenen Metrik.
• Auf jeder Menge $X$ lässt sich eine diskrete Metrik definieren durch

$d(x,y):=\{\begin{array}{cc}0& x=y\\ 1& x\ne y\end{array}$

• Ist $(X,d)$ ein metrischer Raum und $Y\subseteq X$ eine Teilmenge, so ist $(Y,d_Y)$ wieder ein metrischer Raum, wobei $d_Y(y,z):=d(y,z)\mathrm{\forall }y,z\in Y$.