Topologie/Grundbegriffe/Metrik/Beispiel

• Es sei ${}V$ ein ${}\mathbb {R}$ -Vektorraum und ${}\vert \vert \,\vert \vert \colon V\to \mathbb {R}$ eine Norm auf ${}V$. Dann ist ${}d(x,y):=\vert \vert x-y\vert \vert$ eine Metrik auf ${}V$, wie man leicht nachrechnet. Somit ist jeder normierte Vektorraum ein metrischer Raum. Ein wichtiger Spezialfall ist der euklidische Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit der durch die euklidische Norm

  ${}\vert \vert (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\vert \vert ={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}\,$

  gegebenen Metrik.
• Auf jeder Menge ${}X$ lässt sich eine diskrete Metrik definieren durch

${}d(x,y):={\begin{cases}0&x=y\\1&x\neq y\end{cases}}\,\,$

• Ist ${}(X,d)$ ein metrischer Raum und ${}Y\subseteq X$ eine Teilmenge, so ist ${}(Y,d_{Y})$ wieder ein metrischer Raum, wobei ${}d_{Y}(y,z):=d(y,z)\,\forall \,y,z\in Y$.