Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Beispiel

1. Es sei ${}(X,d)$ ein metrischer Raum. Es sei

   ${}\tau _{d}={\bigl \lbrace }U\subseteq X\colon U{\text{ ist offen in }}(X,d){\bigr \rbrace }\,$

   die Familie der offenen Teilmengen. Dann ist ${}\tau _{d}$ eine Topologie auf ${}X$. Denn die leere Menge ist offen, und ebenso ${}X$. Der Schnitt von zwei offenen Mengen ist offen, denn das Minimum zweier positiver reeller Zahlen ist wieder eine. Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist auch wieder offen. Die Dreiecksungleichung geht hier nicht ein!

2. Insbesondere ist der euklidische Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ ein topologischer Raum, wenn man die von der euklidischen Metrik induzierte Topologie nimmt.
3. Es sei ${}X$ eine Menge, dann ist die Potenzmenge ${}{\mathcal {P}}(X)$ aller Teilmengen von ${}X$ eine Topologie auf ${}X$. Die Axiome sind offensichtlich erfüllt. Dies ist die diskrete Topologie auf ${}X$.
4. Es sei ${}X$ eine Menge, dann ist die Familie ${}\{\emptyset ,X\}$ eine Topologie auf ${}X$. Die Axiome sind offensichtlich erfüllt. Dies ist die indiskrete Topologie auf ${}X$.
5. Es sei ${}X=\{a,b\}$, dann ist die Familie ${}{\bigl \lbrace }\emptyset ,\{a\},\{a,b\}{\bigr \rbrace }$ eine Topologie auf ${}X$. Die Axiome sind wieder offensichtlich erfüllt. Dieser topologische Raum heißt Sierpinski-Raum.
6. Es sei ${}X=\mathbb {R}$ und ${}\sigma$ die Familie der beschränkten Teilmengen von ${}\mathbb {R}$. Dann ist ${}\sigma$ keine Topologie, denn eine beliebige Vereinigung beschränkter Teilmengen ist nicht unbedingt beschränkt. Auch ${}X\notin \sigma$.