Topologie/Grundbegriffe/Umgebungen in topologischen Räumen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst ${}U\in \tau$ und ${}x\in U$. Dann ist ${}U$ selbst eine Umgebung von ${}x$. Ist nun ${}V_{x}\subseteq U$ eine Umgebung von ${}x$, so gibt es nach Definition eine Menge ${}W_{x}\in \tau$ mit ${}x\in W_{x}\subseteq V_{x}$. Dann ist ${}U=\bigcup _{x\in U}W_{x}\in \tau$ nach Axiom 3.

Zur bewiesenen Aussage