Topologie/Topologische Äquivalenz/Euklidischer Spezialfall/Beispiel

Der Kreis $S^{1}$ und das Quadrat $Q^{1}$ sind topologisch äquivalent. Eine topologische Äquivalenz ${}f\colon S^{1}\to Q^{1}$ ist gegeben durch

${}(x,y)\mapsto f(x,y)={\frac {1}{\max \lbrace \vert x\vert ,\vert y\vert \rbrace }}(x,y)\,\,$

und ${}f$ ist stetig als Komposition stetiger Abbildungen (Absolutbetrag, Maximum, Inverses, Skalarmultiplikation). Die Umkehrabbildung ${}g\colon Q^{1}\to S^{1}$ ist

${}(x,y)\mapsto g(x,y)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}(x,y)\,\,$

wie man nachrechnen kann. Die Abbildung ${}g$ ist wieder stetig als Komposition stetiger Abbildungen (Quadrat, Quadratwurzel, Summe, Inverses, Skalarmultiplikation).

Ebenso sind die Kugeloberfläche $S^{2}$ und die Würfeloberfläche $Q^{2}$ topologisch äquivalent. Aber die Kugeloberfläche $S^{2}$ und der Torus $S^{1}\times S^{1}$ sind nicht zueinander topologisch äquivalent. Es ist nicht leicht, für letzteres einen guten Grund (also einen Beweis) anzugeben, obwohl diese Tatsache ja recht plausibel erscheint.