Topologie/Topologische Räume/Reell projektiver Raum/Beispiel

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}X=\mathbb {R} ^{n+1}\smallsetminus \{0\}$. Der euklidische Raum ${}\mathbb {R} ^{n+1}$ ist ein reeller Vektorraum, wobei die Skalarmultiplikation von ${}\lambda \in \mathbb {R}$ und ${}x\in \mathbb {R} ^{n+1}$ mit ${}\lambda \cdot x$ bezeichnet wird. Es sei weiter

${}R:=\{(x,y)\in X\times X\colon \,\exists \,\lambda \in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}{\text{ mit }}\lambda \cdot x=y\}\,.$

Dies ist eine Äquivalenzrelation, denn

1. ${}1\in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}$,
2. ${}\lambda ^{-1}\in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}\,\forall \,\lambda \in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}$,
3. ${}\lambda \mu \in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}\,\forall \,\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}$, und
4. die Skalarmultiplikation ist assoziativ.

Die Quotientenmenge, versehen mit der Quotiententopologie, heißt reell-projektiver Raum (der reellen Dimension ${}n$) und wird mit ${}\mathbb {RP} ^{n}$ bezeichnet. Einen Punkt im ${}\mathbb {RP} ^{n}$ kann man sich als Gerade durch den Nullpunkt im ${}\mathbb {R} ^{n+1}$ vorstellen.