Topologie/Topologische Räume/Reell projektiver Raum/Beispiel

Es sei $n\in \mathbb{N}$ und $X={ℝ}^{n+1}\setminus \{0\}$. Der euklidische Raum ${ℝ}^{n+1}$ ist ein reeller Vektorraum, wobei die Skalarmultiplikation von $\lambda \in ℝ$ und $x\in {ℝ}^{n+1}$ mit $\lambda \cdot x$ bezeichnet wird. Es sei weiter

$R:=\{(x,y)\in X\times X:\mathrm{\exists }\lambda \in ℝ\setminus \{0\}\text{ mit }\lambda \cdot x=y\}.$

Dies ist eine Äquivalenzrelation, denn

1. $1\in ℝ\setminus \{0\}$,
2. ${\lambda }^{-1}\in ℝ\setminus \{0\}\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ\setminus \{0\}$,
3. $\lambda \mu \in ℝ\setminus \{0\}\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in ℝ\setminus \{0\}$, und
4. die Skalarmultiplikation ist assoziativ.

Die Quotientenmenge, versehen mit der Quotiententopologie, heißt reell-projektiver Raum (der reellen Dimension $n$) und wird mit ${ℝ\mathbb{P}}^n$ bezeichnet. Einen Punkt im ${ℝ\mathbb{P}}^n$ kann man sich als Gerade durch den Nullpunkt im ${ℝ}^{n+1}$ vorstellen.