Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Trivialität mit Ketten/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zuerst ${}[z]=0$. Dann gibt es lokal konstante Funktionen ${}g_{i}$ auf ${}U_{i}$ mit ${}f_{ij}=g_{j}-g_{i}$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})&=\sum _{k=1}^{n-1}{\left(-g_{\alpha (k)}(P_{k})+g_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}\\&=-g_{\alpha (1)}(P_{1})+\sum _{k=1}^{n-2}{\left(g_{\alpha (k+1)}(P_{k})-g_{\alpha (k+1)}(P_{k+1})\right)}+g_{\alpha (n)}(P_{n-1})\\&=-g_{\alpha (1)}(P_{1})+g_{\alpha (n)}(P_{n-1}),\end{aligned}}$

da ${}g_{\alpha (k+1)}$ auf ${}V_{k+1}=U_{\alpha (k+1)}$ konstant ist.

Es sei nun umgekehrt die Unabhängigkeitseigenschaft erfüllt. Wir können annehmen, dass ${}X$ zusammenhängend ist. Zunächst sind die Funktionen ${}f_{ij}$ auf ${}U_{i}\cap U_{j}$ konstant, da andernfalls sich für die Kette ${}U_{i},U_{j}$ sofort ein Widerspruch zur Unabhängigkeit der Punktwahl ergeben würde. Wir definieren konstante Funktionen ${}g_{i}$ auf den ${}U_{i}$ in folgender Weise. Wir fixieren eine offene Menge ${}U_{i_{0}}$ als ${}V_{1}$ und legen darauf den Wert ${}0$ fest. Zu einer offenen Menge ${}U_{i}$ gibt es einen stetigen Weg von ${}V_{1}$ nach ${}U_{i}$ und damit auch eine topologische Kette ${}V_{1},\ldots ,V_{n}=U_{i}$. Wir wählen Punkte ${}P_{k}\in V_{k}\cap V_{k+1}$ und setzen

${}g_{i}=-\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})=\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k)\alpha (k+1)}(P_{k})\,.$

Nach Voraussetzung ist dies unabhängig von der gewählten Kette und den gewählten Punkten. Wir behaupten, dass der Korand zu den ${}g_{i}$ den gegebenen Kozykel realisiert. Es haben ${}U_{i}$ und ${}U_{j}$ einen nichtleeren Durchschnitt, andernfalls ist nichts zu zeigen. Dann können wir eine topologische Kette von ${}V_{1}$ nach ${}V_{n}=U_{i}$ um ${}V_{n+1}=U_{j}$ zu einer Kette von ${}V_{1}$ nach ${}U_{j}$ erweitern. Dabei gilt

${}{\begin{aligned}g_{j}-g_{i}&=-\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})-f_{\alpha (n+1)\alpha (n)}(P_{n})+\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})\\&=-f_{\alpha (n+1)\alpha (n)}(P_{n})\\&=f_{\alpha (n)\alpha (n+1)}(P_{n})\\&=f_{ij}(P_{n}).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage