Topologischer Raum/Garbe/Ausbreitungsraum/Schnitt/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die natürliche Abbildung

$\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow {\left\{h:U\rightarrow p^{-1}(U){\text{ stetig}}\mid p\circ h=\operatorname {Id} _{U}\right\}},$

die einem ${}s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ die Abbildung

$h\colon U\longrightarrow p^{-1}(U),\,x\longmapsto (x,s_{x}),$

zuordnet. Die Abbildung ${}h$ ist stetig, es liegt eine Homöomorphie zu ${}(U,s)$ vor. Die Injektivität der Gesamtabbildung folgt aus Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei ein stetiges ${}h$ gegeben. Es wird also jedem Punkt ${}x\in U$ ein ${}h(x)\in {\mathcal {G}}_{x}$ in stetiger Weise zugeordnet. Sei ${}x\in U$ und es sei ${}x\in V\subseteq U$ eine offene Umgebung, auf der ${}h(x)$ durch den Schnitt ${}s\in \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}$ repräsentiert werde. Dann ist ${}(V,s)$ eine offene Umgebung von ${}(x,h(x))$ in ${}{\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }$. Wegen der Stetigkeit von ${}h$ ist

${}U_{x}:=h^{-1}(V,s)={\left\{y\in U\mid h(y)\in V,\,s_{y}=h(y)\right\}}\,$

offen in ${}X$. D.h. dass auf der offenen Umgebung ${}U_{x}$ von ${}x$ die Abbildung durch einen Schnitt der Garbe über ${}U_{x}$ gegeben ist. Die Abbildung ${}h$ wird also lokal um jeden Punkt durch einen Garbenschnitt repräsentiert und diese sind zueinander verträglich, da sie ja punktweise durch ${}h$ gegeben sind. Aufgrund der Definition einer Garbe rühren diese lokalen Schnitte von einem globalen Garbenschnitt über ${}U$ her.

Zur bewiesenen Aussage