Topologischer Raum/Lokal konstante Funktionen/Dreierüberdeckung/Produkt auf H^1/Beispiel

${}X=U_{1}\cup U_{2}\cup U_{3}$.

${}c$ sei durch ${}s_{12}$ auf ${}U_{12}$ etc. gegeben, entsprechend ${}d$. Dann ist

${}(c\wedge d)_{123}=s_{12}t_{13}-s_{13}t_{12}\,.$

Bei vertauschten Rollen gilt

${}{\begin{aligned}s_{21}t_{23}-s_{23}t_{21}&=s_{21}{\left(t_{13}-t_{12}\right)}-{\left(s_{13}-s_{12}\right)}t_{21}\\&=-s_{12}t_{13}+s_{13}t_{12},\end{aligned}}$

bis auf das Vorzeichen.

Für einen Korand zu ${}a_{1},a_{2},a_{3}$ für ${}c$, also ${}s_{12}=a_{1}-a_{2}$, ${}s_{13}=a_{1}-a_{3}$, ${}s_{23}=a_{2}-a_{3}$, gilt (was von einem Zweierschnitt herkommt, ist gleich ${}0$)

${}{\begin{aligned}s_{12}t_{13}-s_{13}t_{12}&=(a_{1}-a_{2})t_{13}-(a_{1}-a_{3})t_{12}\\&=-a_{2}t_{13}+a_{3}t_{12}\\&=-a_{2}{\left(\pm t_{12}\pm t_{23}\right)}+a_{3}{\left(\pm t_{23}\pm t_{13}\right)}\end{aligned}}$