Topologischer Raum/Prädikatenlogische Formulierung/Höhere Sorten/Beispiel

Wir betrachten ein Symbolalphabet, dass neben Variablen (die wir hier mit ${}x,y,z,U,V,I,J$ bezeichnen) aus einem einstelligen Funktionssymbol ${}\bigcup$, aus zwei zweistelligen Funktionssymbolen ${}\cup ,\cap$ vier einstelligen Relationssymbolen ${}R_{0},R_{1},R_{2},T$, einem zweistelligen Relationssymbol ${}E$, besteht.

$\forall U\forall V{\left(TU\wedge TV\rightarrow TU\cap V\right)}.$

$\forall I{\left(R_{2}I\rightarrow {\left(\forall U{\left(EUI\rightarrow TU\right)}\rightarrow T\bigcup I\right)}\right)}$

Einen topologischen Raum kann man als eine Interpretation dieser Ausdrucksmenge auffassen, indem man als Grundmenge der Interpretation

$M=X\cup {\mathfrak {P}}\,(X)\cup {\mathfrak {P}}\,({\mathfrak {P}}\,(X))\cup \{\delta \}$

wählt und

$R_{0}^{M}=X,R_{1}^{M}={\mathfrak {P}}\,(X),R_{2}^{M}={\mathfrak {P}}\,({\mathfrak {P}}\,(X)),$

$Exy{\text{ als }}x\in y$

$\cap {\text{ und }}\cup {\text{ als Durchschnitt und Vereinigung von zwei Mengen}}$

setzt, wobei man das Ergebnis der Funktionen, für die es keine sinnvolle inhaltliche Interpretation gibt, als ${}\delta$ ansetzt.