Topologischer Raum/Ultrafilter/Irreduzibel/Fakt/Beweis

Beweis

Die leere Menge gehört nach Definition nicht zu einem Ultrafilter. Es seien ${}V,W$ offene Mengen mit ${}V\cup W\in F$, aber ${}V,W\notin F$. Würde es sowohl für ${}V$ als auch für ${}W$ offene Mengen ${}U_{1},U_{2}\in F$ mit ${}U_{1}\cap V=\emptyset$ und ${}U_{2}\cap W=\emptyset$ geben, so wäre auch

${}(U_{1}\cap U_{2})\cap (V\cup W)=\emptyset \,$

im Widerspruch zur Voraussetzung. Also können wir ohne Einschränkung annehmen, dass

${}U\cap V\neq \emptyset \,$

ist für alle ${}U\in F$. Dann ist der durch all diese ${}U\cap V$ erzeugte Filter konsistent und muss mit ${}F$ übereinstimmen. Also ist ${}V\in F$.

Zur bewiesenen Aussage