Torus/Produktdarstellung und Schlauch/Bijektion/Aufgabe

Es sei ${}0<r<R$ und sei

${}T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}\,.$

Zeige, dass die Abbildung

$S^{1}\times S^{1}\longrightarrow T,\,(\varphi ,\psi )\longmapsto ((R+r\cos \psi )\cos \varphi ,(R+r\cos \psi )\sin \varphi ,r\sin \psi )$

eine Bijektion ist.

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