Totale Differenzierbarkeit/Mittelwertabschätzung/Banachscher Fixpunktsatz/Linear/Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine total differenzierbare Abbildung derart, dass es eine reelle Zahl ${}c\in [0,1[$ gibt mit

${}\Vert {\left(D\varphi \right)_{P}}\Vert \leq c\,$

für alle ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass ${}\varphi$ die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.

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