Totale Differenzierbarkeit/R/Einleitung/Motivation/Textabschnitt

Wir möchten Abbildungen ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ zwischen Vektorräumen differenzieren (ohne auf eine Richtung Bezug zu nehmen), und allgemeiner Abbildungen

$\varphi \colon G\longrightarrow W,$

wobei ${}G\subseteq V$ eine gewisse offene Teilmenge ist. Wir wiederholen kurz die Situation in einer Variablen: Angenommen wir haben eine Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, dann ist die Grundidee einer differenzierbaren Abbildung und ihrer Ableitung, eine „Tangente an den Graphen“ anzulegen. Dabei kann man sagen, dass die Tangente die beste lineare Approximation von ${}\varphi$ (genauer: Der Graph einer affin-linearen Approximation) in einem gegebenen Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ darstellt. Da die Steigung der Tangente wieder eine reelle Zahl ist, wird beim Differenzieren jedem Punkt ${}x$ wieder eine Zahl zugeordnet. Wir erhalten also eine neue Funktion, welche wir mit ${}\varphi '$ bezeichnen. Im höherdimensionalen Fall ist dies komplizierter, aber die Idee einer bestmöglichen linearen Approximation bleibt bestehen.

Die Übereinstimmung der Konzepte wird auch deutlich, wenn man den Graphen einer Abbildung anschaut. Zu einer differenzierbaren Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ schmiegt sich die Tangente im Punkt ${}(P,f(P))$ an den Graphen zu ${}f$ an. Zu einer Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

ist der Graph eine Teilmenge von ${}\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}$, den man sich als ein Gebirge über der Ebene vorstellen sollte. Eine sinnvolle Fragestellung ist, ob es zu einem Punkt ${}(P,f(P))$ eine anschmiegende Tangentialebene an den Graphen zu ${}f$ gibt, die man als den Graphen einer affin-linearen Abbildung ${}\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ realisieren kann.