Totale Differenzierbarkeit/R/Lineare Approximation/In Koordinaten/Bemerkung

Bei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und einer total differenzierbaren Abbildung

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

wird die affin-lineare Approximation in einem Punkt ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in G$ in Koordinaten folgendermaßen geschrieben. Es sei ${}L$ das totale Differential, so dass die lineare Approximation für ${}\varphi (P+v)$ die Gestalt

$\varphi (P)+L(v)$

besitzt. Wenn man dies in den Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ schreiben möchte, so ist ${}v_{i}=x_{i}-a_{i}$ und daher ist die lineare Approximation für ${}\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})$ gleich

${}\varphi (a_{1},\ldots ,a_{n})+L{\begin{pmatrix}x_{1}-a_{1}\\\vdots \\x_{n}-a_{n}\end{pmatrix}}=L{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+\varphi (a_{1},\ldots ,a_{n})-L{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\,.$