Trigonalisierbar/Direkte Summe/Direkt/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien zunächst die Komponentenabbildungen ${}\varphi _{i}$ trigonalisierbar. Es sei

${}d_{i}=\dim _{K}{\left(V_{i}\right)}\,$

und seien

$v_{i1},\ldots ,v_{id_{i}},\,i=1,\ldots ,n,$

Basen von ${}V_{i}$, bezüglich denen die beschreibenden Matrizen ${}M_{i}$ zu ${}\varphi _{i}$ obere Dreiecksgestalt haben. In der beschreibenden Matrix zur Produktabbildung bezüglich der durch alle Vektoren ${}v_{ij}$ gebildeten Gesamtbasis des Produktraumes stehen die ${}M_{i}$ als Blöcke in der Diagonalen, alle anderen Einträge sind ${}0$. Daher ist die Gesamtabbildung auch trigonalisierbar.

Es sei nun die Gesamtabbildung trigonalisierbar. Durch eine einfache Induktion können wir annehmen, dass ${}n=2$ ist, sei also zur Notationsvereinfachung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ und ${}\psi \colon W\rightarrow W$ gegeben und sei

$\varphi \times \psi \colon V\times W\longrightarrow V\times W$

trigonalisierbar. Wir müssen zeigen, dass auch ${}\varphi$ trigonalisierbar ist. Nach Voraussetzung gibt es eine Basis ${}(v_{k},w_{k})$, ${}k=1,\ldots ,m$, bezüglich der die Matrix zur Gesamtabbildung obere Dreiecksgestalt besitzt. Es seien

${}k_{1}<k_{2}<\ldots <k_{d}\,$

so gewählt (mit ${}d=\dim _{K}{\left(V\right)}$), dass

$v_{k_{1}},\ldots ,v_{k_{d}}$

eine Basis von ${}V$ bilden und dass ${}v_{i}\in \langle v_{1},\ldots ,v_{i-1}\rangle$ genau für

${}i\neq k_{j}\,$

gilt. Die ${}k_{j}$ sind also diejenigen Stellen, wo in der Kette der Vektorräume

${}V_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,$

die Räume größer werden. Eine solche Basis muss es geben, da die ${}v_{k}$, ${}k=1,\ldots ,m$ ganz ${}V$ erzeugen. Dabei gilt aufgrund der oberen Dreiecksgestalt der Produktabbildung bezüglich der gegebenen Basis

${}(\varphi \times \psi )(v_{k_{j}},w_{k_{j}})=(\varphi (v_{k_{j}}),\psi (w_{k_{j}}))=\sum _{k=1}^{k_{j}}c_{k}(v_{k},w_{k})\,$

und damit insbesondere

${}\varphi (v_{k_{j}})=\sum _{k=1}^{k_{j}}c_{k}v_{k}\,.$

Da die dabei auftretenden ${}v_{k}$ Linearkombinationen der ${}v_{k_{1}},\ldots ,v_{k_{j}}$ sind, gilt

${}\varphi (v_{k_{j}})=\sum _{i=1}^{j}b_{i}v_{k_{i}}\,,$

was die Trigonalisierbarkeit von ${}\varphi$ bedeutet.

Zur bewiesenen Aussage

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