Tupel, Vektoren, Matrizen/R/Mengen/Einführung/Textabschnitt

Wichtige Produktmengen sind beispielsweise $ℝ^{2} = ℝ \times ℝ$ und $ℝ^{3} = ℝ \times ℝ \times ℝ$ . Bei den Elementen darin kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Generell schreibt man zu einer Menge $M$ und einem $n \in ℕ$ die $n$ -fache Produktmenge von $M$ mit sich selbst als

M^{n} = \underset{n -mal}{\underset{⏟}{M \times \dots \times M}} .

Die Elemente darin haben die Gestalt

(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}),

wobei alle $x_{i}$ aus $M$ sind. Eine solche geordnete endliche Folge von $n$ Elementen nennt man auch ein $n$ -Tupel über $M$ . Bei $n = 2$ spricht man von einem Paar, bei $n = 3$ von einem Tripel. Zu

x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

nennt man $x_{i}$ die $i$ -te Komponente oder den $i$ -ten Eintrag des Tupels. Das tiefgestellte $i$ heißt in diesem Zusammenhang der Index des Tupels und ${1, \dots, n}$ die Indexmenge des Tupels.

Generell gibt es auch zu komplizierteren Indexmengen $I$ sogenannte $I$ -Tupel. Bei einem $I$ -Tupel wird jedem $i \in I$ ein mathematisches Objekt zugeordnet, das Tupel wird als $x_{i}$ , $i \in I$ , geschrieben. Wenn sämtliche $x_{i}$ aus einer gemeinsamen Menge $M$ stammen, spricht man auch von einem $I$ -Tupel aus $M$ . Bei $I = ℕ$ spricht man von einer Folge in $M$ .

Eine endliche Indexmenge kann man stets durch eine Menge der Form ${1, \dots, n}$ ersetzen (diesen Vorgang kann man eine Nummerierung der Indexmenge nennen), doch ist das nicht immer sinnvoll. Wenn man z.B. mit einer Indexmenge

I = {1, \dots, n}

startet und sich dann für gewisse Teilindexmengen $J \subseteq I$ interessiert, so ist es natürlich, die von $I$ ererbten Bezeichnungen beizubehalten, anstatt $J$ mit einer neuen Nummerierung ${1, \dots, m}$ zu versehen. Häufig gibt es für ein bestimmtes Problem „natürliche“ Indexmengen, die (allein schon mnemotechnisch) einen Teil des strukturellen Gehalts des Problems widerspiegeln.

Spezieller nennt man ein $n$ -Tupel über einer Menge $M$ der Form

(a_{1}, \dots, a_{n})

ein Zeilentupel (der Länge $n$ ) und eines der Form

(\begin{matrix} a_{1} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})

ein Spaltentupel. Im Allgemeinen sind das nur zwei unterschiedliche Darstellungsweisen; wenn die Tupel aber zusätzliche Strukturen repräsentieren (beispielsweise Vektoren, auf die eine Matrix (s.u.) angewendet werden soll), so ist der Unterschied bedeutsam.

Wenn $I$ und $J$ zwei Mengen sind und $I \times J$ ihre Produktmenge, so kann man ein $I \times J$ -Tupel in $M$ als eine „Tabelle“ auffassen, bei der jedem Paar $(i, j)$ ein Element $a_{i j} \in M$ zugeordnet wird. Insbesondere bei $I = {1, \dots, m}$ und $J = {1, \dots, n}$ nennt man ein $I \times J$ -Tupel auch eine $m \times n$ -Matrix und schreibt sie als

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) .

Das Zeilentupel

(a_{i 1}, a_{i 2}, \dots, a_{i n})

heißt dann die $i$ -te Zeile der Matrix und entsprechend

(\begin{matrix} a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ ⋮ \\ a_{m j} \end{matrix})

die $j$ -te Spalte der Matrix.