Wichtige Produktmengen sind beispielsweise
und
.
Bei den Elementen darin kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Generell schreibt man zu einer Menge
und einem
die
-fache Produktmenge von
mit sich selbst als
-
![{\displaystyle {}M^{n}=\underbrace {M\times \cdots \times M} _{n{\text{-mal}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe02bc86cfa1bdcdb41dec47e3b83fc71fb841d2)
Die Elemente darin haben die Gestalt
-
wobei alle
aus
sind. Eine solche geordnete endliche Folge von
Elementen nennt man auch ein
-Tupel über
.
Bei
spricht man von einem Paar, bei
von einem Tripel. Zu
-
![{\displaystyle {}x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05ddbf025cca170ea8a674e79f67d38f0bcde65)
nennt man
die
-te Komponente oder den
-ten Eintrag des Tupel. Das tiefgestellte
heißt in diesem Zusammenhang der Index des Tupels und
die Indexmenge des Tupels.
Generell gibt es auch zu komplizierteren Indexmengen
sogenannte
-Tupel. Bei einem
-Tupel wird jedem
ein mathematisches Objekt zugeordnet, das Tupel wird als
,
,
geschrieben. Wenn sämtliche
aus einer gemeinsamen Menge
stammen, spricht man auch von einem
-Tupel aus
. Bei
spricht man von Folgen in
.
Eine endliche Indexmenge kann man stets durch eine Menge der Form
ersetzen
(diesen Vorgang kann man eine Nummerierung der Indexmenge nennen),
doch ist das nicht immer sinnvoll. Wenn man z.B. mit einer Indexmenge
startet und sich dann für gewisse Teilindexmengen
interessiert, so ist es natürlich, die von
ererbten Bezeichnungen beizubehalten, anstatt
mit einer neuen Nummerierung
zu versehen. Häufig gibt es für ein bestimmtes Problem „natürliche“ Indexmengen, die
(allein schon mnemotechnisch)
einen Teil des strukturellen Gehalts des Problems widerspiegeln.
Spezieller nennt man ein
-Tupel über einer Menge
der Form
-
ein Zeilentupel
(der Länge
)
und eines der Form
-
ein Spaltentupel. Im Allgemeinen sind das nur zwei unterschiedliche Darstellungsweisen; wenn die Tupel aber zusätzliche Strukturen repräsentieren
(beispielsweise Vektoren, auf die eine Matrix (s.u.) angewendet werden soll),
so ist der Unterschied bedeutsam.
Wenn
und
zwei Mengen sind und
ihre Produktmenge, so kann man ein
-Tupel in
als eine „Tabelle“ auffassen, bei der jedem Paar
ein Element
zugeordnet wird. Insbesondere bei
und
nennt man ein
-Tupel auch eine Matrix und schreibt sie als
-
Das Zeilentupel
-
heißt dann die
-te Zeile der Matrix und entsprechend
-
die
-te Spalte der Matrix.