Umkehrabbildung/Funktionen in einer Variablen/Diagonalabbildung/Aufgabe

Es seien

$f_{1},\ldots ,f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

stetig differenzierbare Funktionen. Betrachte die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (f_{1}(x_{1}),\ldots ,f_{n}(x_{n})),$

Zeige:

1. Die Abbildung ${}f$ ist differenzierbar.
2. Das totale Differential von ${}f$ in ${}0$ ist genau dann bijektiv, wenn von sämtlichen Funktionen ${}f_{i},\,i=1,\ldots ,n$, die Ableitungen in ${}0$ nicht ${}0$ sind.
3. ${}f$ ist genau dann auf einer offenen Umgebung von ${}0$ bijektiv, wenn die einzelnen ${}f_{i}$ in einer geeigneten Umgebung bijektiv sind.

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