Ungerade Funktion/Kein isoliertes lokales Extremum/Aufgabe/Lösung

1. Die Nullfunktion ist ungerade und besitzt im Nullpunkt ein globales Maximum, das gleichzeitig globales Minimum ist.
2. Es sei $f$ ungerade, es gilt also  $f(-x)=-f(x)$,  für alle  $x\in ℝ$.  Dann ist insbesondere  $f(0)=-f(0)$,  also  $f(0)=0$.  Nehmen wir an, dass $f$ im Nullpunkt ein isoliertes lokales Maximum besitzt. Das bedeutet, dass es ein  $ϵ>0$  derart gibt, dass

   $f(x)<f(0)=0$

   für alle  $x\in [-ϵ,ϵ]$  gilt. Für diese $x$ ist aber auch  $-x\in [-ϵ,ϵ]$  und es ergibt sich direkt der Widerspruch

   $f(-x)=-f(x)>0.$

Zur gelösten Aufgabe